里奇流（Ricci flow）
/ REE-chee /
熱會擴散：把一根燒紅的撥火棒丟進冷水，過一陣子各處溫度便趨於均勻。里奇流對一個空間的形狀做的正是同一件事，只是對象不是溫度而是幾何。你交給它一個帶黎曼度量的彎曲流形，它便讓這個度量隨時間向前演化，像熱把熱點抹平那樣把曲率的腫塊抹平——凹凸的區域傾向變圓，幾何試圖變得均勻。Richard Hamilton 於 1982 年引入它，正是為了試圖把任意度量流向某個典範度量，而 Perelman 用它完成了龐加萊猜想與幾何化猜想的證明。
精確地說，里奇流是演化方程 d/dt g(t) = -2 Ric(g(t))，其中 g(t) 是固定流形 M 上的單參數黎曼度量族，Ric 是當前度量的里奇曲率。逐項來讀：左邊是度量的變化率；右邊把度量自身的里奇曲率回饋進來，前面的負號使正曲率方向收縮、負曲率方向擴張。它是熱方程 d/dt u = Delta u 的非線性類比：在調和（或 DeTurck 規範）座標下，-2 Ric 的主導項實際上就是度量的拉普拉斯算子，故度量的分量會擴散。Hamilton 證明了任何閉流形上的短時存在唯一性——給定一個光滑初始度量，存在 epsilon > 0 與 [0, epsilon) 上的唯一解。在標準球面上，流只是讓球面在有限時間內自相似地收縮到一點；在平坦環面上它什麼也不做。
它的重要性：里奇流把一個拓樸問題（「這個流形是什麼形狀？」）化成一個你能分析的偏微分方程，而流的長時行為讀出典範的幾何結構。但誠實的標題是：流並不是永遠把一切抹平。在多數流形上曲率會聚集、度量在有限時間內退化——流會發展出奇異性。理解、分類並以手術移除這些奇異性正是全部的困難所在，而把里奇流說成「能把任何度量演化成漂亮度量」是嚴重曲解了 Hamilton 的綱領與 Perelman 的工作。常用的規範化流（重新縮放以保持總體積不變）使標準球面成為不動點而非消失。
從一個像蛋一樣略被壓扁的球面出發。在里奇流下，彎得較尖的兩端（高 Ric）比中段平緩處收縮得更快，蛋逐漸圓化趨向標準球面，接著整個標準球面在有限時間內自相似地收縮到一點——這乾淨地說明了曲率驅動的抹平，後面接著一個不可避免的奇異性。
蛋形度量在里奇流下圓化趨向球面，然後坍縮成一點：先抹平，後奇異。
里奇流照字面寫只是弱拋物的，因為微分同胚不變性留下一個退化方向；Hamilton 最初的短時存在性證明用了 Nash-Moser 定理，而 DeTurck 的技巧後來固定規範使方程嚴格拋物、存在性證明變得常規。