幾何熱流（geometric heat flow）

把一根冷的金屬棒放進溫暖的房間，溫度會抹平：熱從熱處流向冷處，直到處處均勻。幾何熱流對幾何物件做同樣的事，而非對溫度——它讓一條曲線、一張曲面、一個映射或一整個度量隨時間演化，使其不規則之處擴散掉，理想上鬆弛趨向一個最佳形狀：測地線、極小曲面、調和映射，或一個圓的、對稱的度量。它是變分法中橢圓型臨界點方程的拋物型（含時、擴散）手足。

配方是一致的：取一個幾何能量或曲率泛函，並令物件依該泛函的負梯度演化，partial_t（物件）= - grad(能量)。因為狄利克雷型能量的梯度是類拉普拉斯算子，所得方程是一個（往往非線性的）熱方程，partial_t u = Delta u + 低階項，故稱「熱流」。調和映射熱流 partial_t f = tau(f) 把映射流向調和映射（這正是埃爾斯-桑普森方法）。曲線縮短流沿曲率向量方向移動平面曲線，partial_t gamma = kappa，使其收縮並變圓；平均曲率流對超曲面做同樣的事，partial_t x = H，即面積的最陡下降。里奇流 partial_t g = -2 Ric 演化度量本身、趨向更均勻的曲率。在每種情形，拋物理論給出短時存在性與光滑化，而希望是收斂到底層泛函的臨界點。

幾何流是現代幾何最有力的想法之一：它把靜態問題「找出最佳形狀」化為動態問題「流動直到抵達它」，並交付了龐加萊與幾何化猜想（藉里奇流）以及極小曲面的深刻結果（藉平均曲率流）。本質的誠實，也是這門學科之所以困難的原因，在於流並非單純地永遠把一切抹平。它們可在有限時間內發展奇異性——曲線縮短的圈收縮為一點，頸可在平均曲率或里奇流下掐斷——而理解並以手術移除這些奇異性正是整齣技術大戲。說幾何流「只是把物件鬆弛到最佳形狀」一般而言是錯的；奇異性才是理論的核心，而里奇流加手術的研究綱領屬於前沿，而非這幅入門圖像。