狄利克雷能量（Dirichlet energy）

想像一張橡皮膜繃在框架上，或一個把一張曲面披覆到另一張上的映射。它被迫拉伸得越多，所儲存的彈性能就越多。狄利克雷能量正是那總拉伸量的精確記帳：逐點把映射在所有方向上的拉伸量加總，再積分。極小化它就是讓膜鬆弛的數學版本，而這唯一的泛函正是調和函數、調和映射、測地線，以及普拉托問題現代解的源頭。

對黎曼流形上的函數 u: M -> R，狄利克雷能量為 E(u) = (1/2) 在 M 上的 integral |grad u|^2 dV。對映射 f: (M, g) -> (N, h)，它是 E(f) = (1/2) 在 M 上的 integral |df|^2 dV，其中 |df|^2 = g^{ij} h_{ab}(f) (partial_i f^a)(partial_j f^b) 是微分的平方範數——拉回目標度量的跡。第一變分給出歐拉-拉格朗日方程：對函數是拉普拉斯方程 Delta u = 0（故極小化者是調和函數），對映射是調和映射方程 tau(f) = 0。一個二維定義域特有的關鍵結構事實是共形不變性：若你把定義域度量共形地縮放，E(f) 不變，故在曲面上，狄利克雷能量與面積泛函在一次共形改變後共享相同的臨界映射——這正是道格拉斯與拉多用來解普拉托問題的橋樑，也是能量在分析上比面積更友善的原因。

狄利克雷能量是幾何分析的主力泛函，因為它對導數是二次的、因而夠凸以致能用直接法給出存在性（在索伯列夫空間上極小化、抽取弱收斂的極小化序列、藉下半連續性過渡到極限），也因為其臨界點把廣袤的幾何收於一個屋頂之下。誠實的提醒：能量只控制一階導數，故有限能量的映射在高維仍可能不連續（映入球面的索伯列夫 W^{1,2} 映射在定義域維數至少三時可有點奇異性）。而使曲面理論奏效的魔法——共形不變性——正是導致能量在臨界維數二集中並冒泡的元兇：一列映射可以有有界能量，卻在極限中把能量漏入收縮的球面。