埃爾斯-桑普森定理（Eells-Sampson theorem）
/ EELZ SAMP-sun /
你有一個兩個彎曲空間之間的連續映射，想把它換成其同倫類中「最佳」的映射——最放鬆、拉伸最少的那個。你總能做到嗎？埃爾斯-桑普森定理說可以，只要目標空間以正確的方式彎曲：若目標非正曲率，則從緊緻流形出發的每個同倫類都含有一個調和代表。這正是讓調和映射理論成為可用工具、而非空想的存在定理。
精確地說：設 M 是緊緻黎曼流形，N 是截面曲率非正的緊緻黎曼流形。則任何光滑映射 f_0: M -> N 都同倫於一個光滑調和映射，且該映射在其同倫類中極小化狄利克雷能量。此證明由詹姆斯·埃爾斯（James Eells）與約瑟夫·桑普森（Joseph Sampson）於 1964 年給出，引入了調和映射熱流：令映射依 partial_t f = tau(f) 演化，即狄利克雷能量的梯度流，故能量沿流遞減。論證的核心是一個博赫納型恆等式，顯示在目標非正曲率下能量密度滿足一個微分不等式（拋物型極大值原理）以阻止爆破；故流對所有時間存在，並（沿子序列）收斂到一個調和映射。目標的非正曲率正是讓博赫納公式中危險的曲率項擁有好符號的關鍵——這唯一的假設承擔了全部工作。
此定理之所以是里程碑有二：它以一個拋物流方法解決了困難的存在問題，而該方法二十年後成為漢密爾頓里奇流的範本；其調和映射又成為剛性工具（蕭氏剛性、莫斯托型剛性、超剛性），那裡非正曲率假設是自然的。誠實的提醒至關重要。目標的非正曲率不是技術上的便利而是真正的必要：映入正曲率目標時結論失效——存在映入球面、卻無調和代表的同倫類，且熱流可發展有限時間奇異性並冒泡漏掉能量。又，「沿子序列收斂」是誠實的措辭：流沿一個子序列收斂（當目標負曲率且映射非映入閉測地線時收斂到唯一極限），而非在無額外假設下對整個時間極限皆收斂。
兩個緊緻雙曲曲面（皆為常負曲率、故非正）之間任何連續映射都同倫於唯一的調和映射；這是邵-丘與桑普森比較雙曲結構之剛性論證的起點。
在負曲率目標之間，調和代表是唯一的——定理最乾淨的形式。
埃爾斯-桑普森對正曲率目標為假：不存在從環面到球面的度數為一的調和映射，故「每個映射都能變調和」僅在非正曲率假設下成立，絕非一般成立。