雙曲三維流形
雙曲幾何是常負曲率的幾何——一個三角形纖瘦、平行線發散、圓盤面積隨半徑指數增長的世界。雙曲三維流形是處處在局部上恰為此幾何的三維空間：無論在哪裡放大，你都看到雙曲三維空間 H^3。這類流形是壓倒性典型的三維流形，也是低維幾何最深刻剛性現象的所在。
精確地說，完備雙曲三維流形是商 M = H^3 / Gamma，其中 H^3 為雙曲三維空間（常曲率 -1），而 Gamma 是其保定向等距群 PSL(2,C) 的一個離散、無撓子群——一個自由且真不連續作用的無撓克萊因群。等價地，它是承載完備 (PSL(2,C), H^3) 結構的流形，完整性為 Gamma 的嵌入。有限體積的例子包括閉流形與「尖點」流形（如紐結補），其端是以視界球的商為模型的管，每個尖點截面是縮向無窮遠的平坦環面。
其結構由厚薄分解支配：由馬古利斯引理，存在一個普適常數，在其之下流形分裂為「厚部」（單射半徑有正下界，幾何上馴良且至多有限多種形狀下緊緻）與「薄部」（短測地線周圍的管與尖點鄰域）。標誌性的剛性是莫斯托-普拉薩：在維數 ≥3 時，有限體積雙曲結構在等距下「唯一」，完全由底層拓樸決定——故雙曲體積這類量成為拓樸不變量。這正是維數 ≥3 的現象，而對曲面「失效」，那裡泰希米勒空間是一整族雙曲結構。
八字結補 S^3 去掉八字結是一個有限體積的尖點雙曲三維流形。它可由 H^3 中兩個理想正四面體黏合而成，雙曲體積恰為極大理想四面體體積的兩倍，約 2.0299。它的單一尖點是一條截面為平坦環面的管。由莫斯托剛性，此體積是該紐結的不變量——同一補上不存在其他雙曲結構。
八字結補：兩個理想四面體、一個尖點、體積約 2.0299——因剛性而為拓樸不變量。
「雙曲三維流形」應指「完備」者；不完備的雙曲度量是非常不同且遠不那麼剛性的對象。而剛性嚴格地是維數 ≥3 的陳述：切勿說雙曲曲面（二維）剛性——它的雙曲結構構成泰希米勒空間，虧格 g 時維數為 6g-6。