馬古利斯引理
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在負曲率空間中，若數個對稱各自只把某點移動極小一點，你或許會期待它們溫和地互動。馬古利斯引理把這點精確化且出人意料地強：存在唯一的普適距離，只依賴於維數與曲率界，使得僅把給定點挪動極微的那些對稱自動生成一個近乎可交換的群。在此門檻之下幾何被迫簡單，而這正是把雙曲流形劈成馴良「厚部」與管及尖點「薄部」之所為。
精確地說，對每個維數 n 存在馬古利斯常數 eps(n) > 0，具如下性質。設 M = H^n / Gamma 為完備雙曲 n 維流形並任取一點 x；考慮 Gamma 中由所有滿足 d(x, g.x) < eps(n) 的元素 g（把 x 移動少於 eps 的等距）所生成的子群 Gamma_eps(x)。則 Gamma_eps(x) 是殆冪零的——它含一個有限指數的冪零子群。在三維中，這樣的群或由單個雙曲元素生成（給出短閉測地線周圍的薄管），或是某尖點的拋物穩定化子（給出尖點鄰域，視界球的商）。
其結論是厚薄分解。把 M 的 eps-薄部定義為這樣的點 x：經過 x 的某非平凡迴圈長度 < eps(n)（等價地單射半徑 < eps/2）；其補集是厚部。馬古利斯保證薄部的每個連通分量都是標準片：短測地線周圍的管或尖點。這種由局部到整體的控制是有限性定理（體積有界的雙曲三維流形只有有限多個）、體積剛性、以及幾何化背後大量幾何的基石。
在一個閉雙曲三維流形上，設閉測地線 gamma 長 0.01，遠低於馬古利斯常數。則 gamma 周圍的薄部是一個嵌入的實心環面管：管內每點都落在某條長度小於 eps 的不可縮迴圈上，而這些迴圈全是 gamma 核心的冪。當 gamma 長度趨於 0 時管變得無限長而細，在極限中開展為尖點。厚部即移除所有這類管與尖點後所餘者。
薄部解剖：短測地線坐落於管中；縮短其長度會把管開展為尖點。
馬古利斯常數在維數上普適，但其在三維的確切值未知——存在明確下界，但最優常數仍開放。又，「殆冪零」是恰當的強度：薄部的群並非字面上可交換，只是在有限指數下冪零。