完整性表示
當你帶著 (G,X)結構的座標繞流形上一個迴圈走回起點時，座標標架未必回到原樣——它回來時被 G 中某個對稱扭轉了。平坦環面的迴圈回來時被平移；繞雙曲曲面把手的迴圈回來時被 H^2 的一個等距變換。完整性表示就是這套記錄：對每個迴圈類，精確記下你撿到的是 G 的哪個元素。它是結構的整體「單值性」。
精確地說，固定一個發展映射 D: M-tilde -> X。對 pi_1(M) 中每個甲板變換 gamma，合成 D 在 gamma 之後是同一結構的另一個發展映射，故它等於 g . D，其中 g 在 G 中唯一；令 rho(gamma) = g。此賦值 rho: pi_1(M) -> G 是群同態——完整性表示——在 G 中的共軛之下唯一（用 G 中的 h 改變發展映射會把 rho 共軛 h）。它的像 rho(pi_1(M)) 是完整性群，G 的一個子群；一對 (D, rho) 完全決定該 (G,X)結構。
完整性是從幾何到代數的橋樑，也是形變空間上的核心座標。對完備結構，完整性是忠實的且像離散，且 M 恰為 X / rho(pi_1(M))；對雙曲曲面，讓完整性表示在特徵簇 Hom(pi_1, PSL(2,R)) / 共軛中變動，描出泰希米勒空間（離散忠實表示的一個選定分支）。莫斯托剛性以此語言來說即：在維數 ≥3 時，映入 PSL(2,C) 的離散忠實完整性是剛性的：M 的拓樸本身就把 rho 釘死到共軛為止。
虧格 2 曲面 S 上的完備雙曲結構有完整性 rho: pi_1(S) -> PSL(2,R)，即 H^2 的保定向等距群。其像是一個離散、無撓、餘緊的子群（富克斯群），且 S = H^2 / rho(pi_1(S))。四個標準生成元 a1, b1, a2, b2 各映到一個雙曲等距（跡的絕對值大於 2 的矩陣），且它們在 PSL(2,R) 中滿足唯一的曲面關係 [a1,b1][a2,b2] = 1。
虧格 2 的完整性：pi_1 的生成元落入 PSL(2,R) 成為滿足曲面關係的雙曲等距。
完整性只定義到共軛為止，故在未固定發展映射前切勿談論某迴圈映到的「那個」元素。而且僅憑完整性未必能還原結構：不同的 (G,X)結構可以共享同一個完整性表示（從形變空間到特徵簇的完整性映射是局部同胚，並非整體單射）。