(G,X)結構
想像你要在一個甜甜圈面上賦予一個完美平坦的幾何——每一小塊都該長得像普通平面的一片，而當你從一塊移到另一塊時不能有任何拉伸。你無法把單一張平面鋪滿整個甜甜圈，但你可以用許多平坦小塊覆蓋它，並要求凡兩塊重疊之處，座標的變換都是平面的剛體運動（一個歐氏對稱）。結果就是平坦環面：局部上與平面無法區分，整體上卻是全新之物。(G,X)結構正是這個想法背後的通用機器，其中「平面」換成一個選定的模型空間 X，「剛體運動」換成一個選定的對稱群 G。
精確地說，固定一個齊性空間 X——李群 G 在其上可遞地作用，使 X 從每一點看都一樣（想像 X = R^n 而 G 為歐氏群，X = S^n 而 G = O(n+1)，或 X = H^n 雙曲空間而 G 為其等距群）。流形 M 上的 (G,X)結構是一組圖卡的圖冊，把 M 的開塊映入 X，使得在每一重疊上的每個轉移映射，都是 G 中某元素的限制。由於 G 通常以實解析映射作用，轉移映射在整個重疊上由它在任一小片上的限制所決定。這正是克萊因的埃爾朗根觀點——一個幾何「就是」一對 (G, X)——從模型空間提升到任意以它為模型的流形。
回報在於：局部模型幾何與整體拓樸成為可以一起研究、卻又能分開處理的問題。同一個曲面可以承載許多不等價的 (G,X)結構，而它們在自然等價下構成的全體就是一個形變空間——泰希米勒理論為曲面上的雙曲結構所研究的對象。兩個衍生不變量統御一切：發展映射（把圖卡整體地展開入 X）與完整性表示（同態 pi_1(M) -> G，記錄展開如何無法閉合）。當一個結構的發展映射是 X 的覆疊時，它便稱為完備的。
平坦環面 T^2 = R^2 / Z^2 承載一個 X = R^2、G 為歐氏等距群的 (G,X)結構。圖卡是 R^2 中的小方塊；在重疊上轉移映射是整數向量的平移，屬於 G。發展映射把 T^2 的萬有覆疊展開到整個 R^2（故此結構完備），而完整性表示把 pi_1(T^2) = Z^2 的兩個生成元送到 (1,0) 與 (0,1) 的平移。
環面上的一個平坦結構：以平移黏合的歐氏圖卡，發展映射完備地映到 R^2。
(G,X)結構並非疊加在固定度量之上的額外資料——它「就是」幾何，而一個流形可能不承載、承載唯一、或承載一整族這樣的結構；存在性問題（例如哪些閉曲面承載雙曲結構）由拓樸支配，譬如由歐拉示性數決定。