齊性空間（homogeneous space）
有些空間從每一點看都一樣——沒有特殊的「中心」。球面就是如此：站在任一點，整個球面的景象與站在任意另一點時無從分辨，因為一個旋轉就能把其中一點送到另一點。齊性空間正是具備這種性質的流形，並精確化為：一群對稱可遞地作用，於是這些對稱能把任一點移到任意另一點。
具體而言，若李群 G 光滑且可遞地作用於流形 M，則固定一個基點 p、令 H = G_p 為其穩定子，便得到微分同胚 M ~ G/H，即配上商光滑結構的左陪集 gH 之集。反之，對李群 G 的任何閉子群 H，陪集空間 G/H 自然地是維數為 dim G - dim H 的光滑流形，而 G 經由左平移可遞地作用其上——故每個齊性空間都以某 G/H 的形式出現。辨識它的訣竅：找出一個可遞對稱群，挑一個方便的點，算出其穩定子。球面：S^n = SO(n+1)/SO(n)。實射影空間：RP^n = O(n+1)/(O(n) x O(1))。R^n 中 k 維平面的格拉斯曼流形：Gr(k, n) = O(n)/(O(k) x O(n-k))。
齊性空間是最對稱的流形，並充當幾何的模型空間——平直空間、球面與雙曲空間就是三個常曲率齊性空間（空間形式）。它們還免費提供不變幾何結構：基點處任何在 H 下不變的張量，經由作用散佈為 G/H 上的不變張量。誠實的提醒：齊性空間本身不必是群（S^2 是齊性的，卻不承載任何李群結構），且寫成 M = G/H 並不唯一——同一流形可由不同的 (G, H) 對來呈現。
n 維球面表為 S^n = SO(n+1)/SO(n)：SO(n+1) 可遞地旋轉 S^n，而固定北極的旋轉恰為赤道 R^n 上的旋轉，即 SO(n)。相減維數：dim S^n = dim SO(n+1) - dim SO(n) = n(n+1)/2 - n(n-1)/2 = n，正如所需。
S^n = SO(n+1)/SO(n)：從一個可遞群及其穩定子讀出熟悉的流形。
G/H 的呈現不唯一：S^2 既是 SO(3)/SO(2) 也是 SU(2)/U(1)。齊性空間記住的是某個可遞對稱群，而非單一典範的群。