光滑群作用（smooth group action）

群在「做某事」之前都是抽象的。群作用就是群在某空間上「作用」——以尊重群律的方式置換其中的點。當群是李群、空間是光滑流形時，我們要求作用是光滑的：隨著群元素變化而移動一個點，應是光滑的運動而非顛簸。這正是連續對稱真正觸及幾何的方式。

形式上，李群 G 在光滑流形 M 上的光滑（左）作用，是一個光滑映射 phi: G x M -> M，記為 g . p，滿足 e . p = p（單位元什麼都不做）與 g . (h . p) = (g*h) . p（作用的複合對應於群中的乘法）。對每個固定的 g，映射 p |-> g . p 即為 M 的微分同胚，其逆由 g^(-1) 給出。兩個概念組織起一個作用：點 p 的軌道為 G . p = {g . p : g in G}，即 p 可被送到的所有位置之集；穩定子（迷向子群）G_p = {g in G : g . p = p} 是固定 p 的對稱之集。軌道-穩定子對應把每條軌道實現為商 G/G_p。若只有單一軌道（從任一點都能到達任意另一點），作用稱為可遞的；若每個穩定子都平凡，則稱為自由的。

光滑作用是齊性空間、主叢與對稱約化背後的引擎。一個警告：即便 G 與 M 都性質良好，軌道空間 M/G 也未必是流形——不同維數的軌道或非閉軌道會製造奇異性。然而當作用既自由又真時，M/G 是光滑流形，且 M -> M/G 是主 G-叢。單憑「光滑作用」兩者都不保證。