自然边界条件（natural boundary conditions）
在那些经典问题里，曲线两端都被钉住——你指定它从哪里出发、在哪里结束。但有时一端或两端可以自由滑动：想象一根搁在支座上却没被夹紧的梁，或一条终点位置你不预先固定的路径。当你不规定某个边界值时，变分原理本身就决定那一端该发生什么。它强加的条件称为自然边界条件——「自然」是因为它从数学中自动落出，而非由你规定。
回忆一阶变分给出一个内部积分加一个边界项，形如（dL/dy'）乘 eta 在端点处取值。当端点被钉住时，eta 在那里为零，边界项自行消失。但当端点自由时，eta 不再被迫在那里为零，于是要使整个一阶变分为零，边界项就必须自己为零——这迫使在那个自由端 dL/dy' = 0。那个方程 dL/dy' = 0 就是自然边界条件。它恰好提供了自由端原本会留下未定的那块缺失的端点信息。
从物理上看，自然边界条件极有意义。对一根垂挂或弯曲的弹性梁，自由端处的自然条件说那里的弯矩或剪力为零——恰是物理对未受载的自由端所要求的。在斯特姆-刘维尔或极小曲面背景下，它们成为诺伊曼型的「零通量」或「零斜率」条件。诚实的结论：在变分问题中，你不能既在自由端强加边界条件又让它保持自由——原理只给你其中之一。被钉住的端给出「本质」（指定值）条件；自由端自动给出自然条件，两者合起来使问题适定。
在 y(0)=0 但右端 y(1) 自由的条件下，求 从 0 到 1 对 (y'^2 + ...) dx 积分 的极小。一阶变分的边界项是 (dL/dy')|_{x=1} 乘 eta(1)；因 eta(1) 不受限，它必须为零，给出自然条件 dL/dy'|_{x=1} = 0——这里是 y'(1) = 0。
自由端并不使问题欠定——边界项在那里给出 dL/dy' = 0。
你不能既指定一个值又让一端自由。被钉住的端给出你强加的本质（狄利克雷型）条件；自由端给出由变分替你强加的自然（诺伊曼型）条件——切勿重复施加。