横截条件（transversality condition）

自然边界条件处理可上下自由滑动的端。横截条件处理更丰富的情形：一个不固定、却必须落在给定曲线或曲面上的端点——比如路径必须在某条目标线上某处结束，或一艘船须抵达一条移动的海岸线，而确切的登陆点留给优化去选。横截性就是那个额外的方程，可以说，它告诉你最优路径应以什么样的「正确角度」与那个目标相交。

当端点可沿一条约束曲线滑动时，一阶变分中的边界项不再简单地为零；端点的变分反而与约束曲线的斜率相联系。要求总一阶变分为零，便产生一个把 L、dL/dy' 与目标曲线在相交点处斜率联系起来的关系。那个关系就是横截条件。在端点只能纯竖直移动的特例（目标是一条竖直线，即在固定 x 处取自由值）下，它退化回自然边界条件 dL/dy' = 0；横截性是一般的母条件，自然边界条件是它的特例子。

横截性在最优控制以及具有自由终端时间或目标集（而非目标点）的问题中不可或缺——从一点到一个圆的最短路径与该圆垂直相交（弧长的横截条件字面上就是正交性），而到移动边界的最短时间轨迹满足它自己的横截关系。诚实的表述：单凭内部的欧拉-拉格朗日方程从来不能确定一个变分问题；你总需要正确的边界信息，而当端自由或被约束在曲线上时，横截性正是正确提供它的东西。给它贴错标签或遗漏它，是错误「最优」路径的常见来源。