多維傅立葉轉換（multidimensional Fourier transform）
真實的問題活在空間中，而不只在一條線上：熱量流過一個三維的塊體、波在一個平面上擴散、一個位勢充滿一個房間。多維傅立葉轉換與一維的想法相同，只是一次施於所有空間變數。你不再把一個 x 的函數分解成單一頻率 xi 的波，而是把一個位置向量的函數分解成平面波，每個平面波由一個指向某方向、具有某波長的頻率向量標記。
對 n 維空間中向量 x 的函數 f(x)，轉換為 f-hat(xi) = integral over all of R^n of f(x) e^(-i xi·x) dx，其中 xi 也是一個 n 維向量，xi·x 是內積。單一成分 e^(i xi·x) 是一個平面波：它沿 xi 的方向振盪、波長由長度 |xi| 決定，並在垂直方向上保持常數。微分規則乾淨地推廣：第 j 方向的導數把 f-hat 乘上 i*xi_j，而——對偏微分方程的關鍵事實——拉普拉斯算子（所有二階導數之和，u_xx + u_yy + u_zz）轉換為乘上 -|xi|^2，即頻率向量長度平方的負值。這門學科的核心算子整個拉普拉斯算子，對每個 xi 都變成單一一個數。
這正是讓轉換能攻破高維偏微分方程的原因。熱方程 u_t = k Laplacian u 對每個頻率向量都變成 u-hat_t = -k|xi|^2 u-hat，又是一個常微分方程，反轉後還原出 n 維的高斯熱核。更一般地，對任何常係數算子，那個乘上 f-hat、視為 xi 之函數的數，就是該算子的符號（symbol）——而現代偏微分方程理論有很大一部分，就是透過符號來研究算子。誠實的提醒是：2*pi 因子與約定的記帳會隨維度倍增，而具旋轉對稱的問題，往往用漢克爾轉換比用完整的 n 維傅立葉積分更有效率。
在三維中用轉換解 u_t = k Laplacian u 得 u-hat(xi,t) = f-hat(xi) e^(-k|xi|^2 t)，反轉這個乘積把它變成與三維熱核 (1/(4*pi*k*t)^(3/2)) e^(-|x|^2/(4 k t)) 的卷積。與一維相同的高斯形狀，只是現在 |x|^2 = x^2 + y^2 + z^2，且維度出現在前置因子裡。
拉普拉斯算子在頻率中變成 -|xi|^2，於是 n 維熱方程又是一行常微分方程。
每個平面波 e^(i xi·x) 除了波長之外還有一個方向（即 xi 的方向），所以在一維以上，頻率是一個向量、而非一個數。算子的符號因而是定義在整個頻率空間上的函數。