幾何分配的無記憶性（memoryless property）

假設你已經擲了十回骰子盼著六點，卻還沒出現。現在你該預期還要再等多久？令人不安卻真實的答案是：和你一開始時一模一樣久。骰子並不知道自己「該出現了」。這就是無記憶性：過去的失敗對於還要等多久毫無資訊可言。幾何分配是唯一具備此性質的離散分配。

精確地說，對幾何等待時間 X，P(X > m + n 在 X > m 之下) = P(X > n)。用白話講：已知你已撐過 m 次失敗，再需要超過 n 次試驗的條件機率，等同於從全新起點需要超過 n 次的無條件機率。原因可直接看出：撐過 m + n 次失敗需要 m + n 次獨立失手，P(X > m + n) = (1 - p)^(m + n)；除以 P(X > m) = (1 - p)^m 後消掉 (1 - p)^m，剩下 (1 - p)^n = P(X > n)。歷史就這麼被約掉了，因為每次試驗都是獨立同分布的。

這正是賭徒謬誤的數學核心。人們覺得連敗之後成功「該來了」，但無記憶的過程沒有這種帳本——硬幣從不欠你一次正面。無記憶性也是幾何及其連續孿生指數分配能描述「隨機」且不會老化之事件的原因：未受擾動原子的放射性衰變、穩定話務中心下一通電話的等待時間。相對地，會用壞的燈泡並非無記憶——老燈泡確實更接近故障，所以它的壽命需要像韋伯這樣的分配，而非指數。