范数的等价性

范数的等价性是这样一条定理：在有限维空间上，对于收敛、连续或开集这类问题，你选哪个范数都无所谓。任意两个范数 ||.||_a 与 ||.||_b 是可比的：存在正常数 c 与 C 使得对所有 x 有 c ||x||_b <= ||x||_a <= C ||x||_b。每个范数都被另一个的常数倍夹住。

其后果是定性的稳健。在某一范数下收敛到零的序列在每个范数下都收敛到零；在一个范数下开的集合在所有范数下都开；在一个范数下连续的函数在所有范数下都连续。所以有限维中的拓扑与范数无关，你可以挑选让证明最容易的那个范数。

证明本身就很有教益。任一固定范数的单位球面在有限维中是紧的（海涅-博雷尔），而任何另一个范数是其上的连续函数，因而在那里取到正的最小值和有限的最大值——它们就是常数 c 与 C。维数有限正是在此处必不可少：在无穷维中范数一般不等价。

但对数值计算的告诫：等价不意味着实践中可互换。常数 c 与 C 可能大到 sqrt(n) 或 n，随维数增长。所以尽管 1-、2-、inf-范数在某物是否收敛上一致，它们在误差实际有多大上可能相差很大的倍数。当你报告一个界时，常数要紧。