上循環的李雅普諾夫指數（Lyapunov exponent of a cocycle）
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李雅普諾夫指數量化動力系統沿典型軌道拉伸（或收縮）的指數速率——即「對初始條件敏感依賴」的精確意涵。當拉伸由一列平穩線性映射描述時，最大指數衡量其乘積增長多快，而其存在性是金曼次可加遍歷定理的乾淨推論。
其框架為保測系統 (Omega, F, P, T) 上的上循環：一個可測映射 A : Omega -> GL(d, R)（矩陣），生成乘積 A_n(omega) = A(T^(n-1) omega) ... A(T omega) A(omega)。弗斯滕貝格-凱斯滕定理說，若 E[ log^+ ||A|| ] < infinity，則 (1/n) log ||A_n(omega)|| 幾乎必然收斂到一個不變極限；在遍歷系統上這是確定常數 lambda_1，即最大李雅普諾夫指數。其證明是把金曼套用於次可加數列 g_n = log ||A_n||。更完整地，奧塞萊德茨乘性遍歷定理加以細化：幾乎每個 omega 帶有子空間的濾過，沿其上增長率為 lambda_1 >= lambda_2 >= ... >= lambda_d（李雅普諾夫譜），這是對非交換隨機乘積成立之特徵值分解的乘性類比。
李雅普諾夫指數是光滑動力與應用的骨幹：lambda_1 > 0 是混沌的嚴格指紋（鄰近軌道指數分離）；正指數之和透過佩辛公式控制熵；隨機矩陣乘積建模無序介質（安德森局域化）；而群上隨機漫步的李雅普諾夫指數（弗斯滕貝格理論）驅動剛性結果。兩個誠實警告。其一，指數是幾乎處處極限，非逐軌道保證：例外軌道存在於一零測集上。其二，金曼 / 奧塞萊德茨證明 lambda_1 存在，卻對其值少有言說；弗斯滕貝格定理給出非退化判準（在不可約與非緊性下，lambda_1 > 0 嚴格成立），但精確計算指數一般難以處理。
一個簡單的一維類比：若 A(omega) 為乘以正純量 a(omega) 且 E[ log a ] 有限，則由伯克霍夫 (1/n) log |A_n| = (1/n) sum log a(T^k omega) -> E[ log a ]——李雅普諾夫指數即 log a 的均值。上循環 / 矩陣情形是非交換推廣，其中和變為矩陣乘積，伯克霍夫變為金曼。
純量情形：指數 = log 的均值（伯克霍夫）。矩陣情形：指數 = log-範數的次可加極限（金曼 / 弗斯滕貝格-凱斯滕）。
矩陣乘法不可交換，故 lambda_1 不是個別矩陣 log-範數的平均；乘積的順序至關重要，且指數一般嚴格小於該天真平均。