柯爾莫哥洛夫-西奈熵（Kolmogorov-Sinai entropy）
/ kol-mo-GOR-ov SEE-nigh /
柯爾莫哥洛夫-西奈熵賦予保測系統一個非負數 h(T)，衡量其資訊產生率——動力每步產生多少位元真正新的隨機性。它是終於分辨其他一切不變量（遍歷性、混合性、譜）皆無法區分之系統的主不變量，並居於混合層級頂端，在那裡混沌變為定量。
構造（簡述）。對 Omega 的有限可測分割 P = {P_1, ..., P_k}，其夏農熵為 H(P) = - sum_i P(P_i) log P(P_i)，即觀測你身處哪格的資訊。沿時間細化，形成聯合 P^n = P or T^(-1) P or ... or T^(-(n-1)) P（記錄 n 步格子行程的分割）。T 相對於 P 的熵為 h(T, P) = lim_n (1/n) H(P^n)（極限因 H 的次可加性存在），而柯爾莫哥洛夫-西奈熵為 h(T) = 對所有有限分割 P 取 h(T, P) 的上確界。柯爾莫哥洛夫-西奈定理使之可計算：若 P 為生成分割（其迭代模零生成 F），則 h(T) = h(T, P)，故無需取上確界。等價地，由夏農-麥克米倫-布雷曼定理，h(T) 是典型長度為 n 之軌道名稱機率的幾乎必然指數衰減率。
為何 h(T) 具決定性。它是同構不變量（同構系統熵相等），且奧恩斯坦的深刻定理使之對伯努利位移完全：兩個伯努利位移同構，當且僅當它們熵相同。這解決了一個長期問題——例如 (1/2, 1/2) 與 (1/3, 1/3, 1/3) 位移不同構，正因其熵 log 2 與 log 3 不同。熵也廣泛聯繫動力：正熵是 K-系統（混沌）的標誌，零熵刻畫可預測系統（旋轉，及一切具離散譜的系統），而變分原理把測度熵繫於拓撲熵。誠實警告：熵對伯努利位移是完全不變量，但一般並非如此——不同構系統可共享同一熵值（奧恩斯坦-希爾茲等建構了此類例子）。且熵是 (T, P) 的性質而非單獨 T：同一映射對不同不變測度有不同熵，變分原理挑出最大者。
字母表上機率為 (p_1, ..., p_k) 的伯努利位移其熵恰為 h = - sum_i p_i log p_i（單符號分割即生成）。故公平擲幣位移 h = log 2，公平骰子位移 h = log 6，無理旋轉 h = 0——精確量化了擲幣與發條旋轉之間的鴻溝。
熵把「有多隨機？」化為一個數，而（對伯努利位移）那個數決定同構。
熵僅在伯努利位移內是完全同構不變量（奧恩斯坦）；一般而言熵相等的兩系統未必同構。且 h(T) 取決於不變測度，而非僅映射本身。