混合性質的層級（hierarchy of mixing properties）
保測系統並非乾淨地分為「有序」與「隨機」；它們形成一道愈來愈強之遺忘性質的分級階梯。混合層級把這些等級組織起來，使人能精確地說一個系統有多混沌，且每一階都嚴格強於其下者——存在區分每一對的例子。
由弱到強，核心階梯為：遍歷（時間平均等於空間平均；不變集平凡）—弱混合（連續譜；相關性沿密度為一的時刻衰減；T x T 遍歷）—混合（亦寫作強混合或 2-混合：對所有對 P(T^(-n) A intersect B) -> P(A) P(B)）—各階混合（k-混合：任意 k 個集的聯合相關隨時間間隔增大而分解）—柯爾莫哥洛夫（K-）系統（平凡的平斯克 / 尾 sigma-代數；每個非平凡因子上皆有正熵）—伯努利（同構於獨立同分布位移——隨機性的黃金標準，由奧恩斯坦定理透過熵分類的最高階）。所有逆向蘊涵皆不成立。
此階梯之所以有用：它把含糊的「混沌」一詞轉為一張可檢驗、逐漸增強之陳述的清單，並告訴你哪些極限定理可用。遍歷性買到大數法則；配速率的混合買到中央極限定理；身為伯努利則說系統在重新標號下就是字面上的擲幣。攀登途中幾個誠實路標：無理旋轉位於最底（遍歷而非弱混合——具離散譜與零熵）；極限環流以各階混合著稱卻不易看出非伯努利；而奧恩斯坦的深刻定理（熵是伯努利位移的完全同構不變量）使階梯頂端可分類。正熵僅在 K-系統階出現；其下一切皆可為零熵。
把四個系統放上階梯：無理旋轉（僅遍歷）；適當的 [T, T^(-1)] 或查空映射（弱混合而不混合）；倍乘映射 / 伯努利位移（伯努利，故居頂端——同時是 K、各階混合、混合、弱混合、遍歷）。每一嚴格更高的階都增添真正的隨機性。
遍歷 < 弱混合 < 混合 < K < 伯努利——一座嚴格的塔，每一步皆有區分例子。
每個蘊涵皆單向且嚴格。當心把遍歷、混合與伯努利當成「隨機」同義詞的常見錯誤：它們確實不同，熵區分頂端各階，譜區分底端各階。