L^p 鞅收斂（L^p martingale convergence）

樸素的收斂定理告訴你，一個 L^1-有界的鞅會逐條路徑、幾乎必然地安定到一個極限。但有一種更強、更好用的收斂，要求到極限的「平均」距離消失：E[|M_n - M_infinity|^p] 趨於 0。當這成立時我們說鞅在 L^p 中收斂，它附帶的紅利是極限的動差以及條件期望恆等式都會如你所願地表現。問題是：在鞅多了什麼強度下，你能得到這種更豐富的收斂，而非僅僅赤裸的幾乎必然那種？

有兩個乾淨的情形。對 p > 1：一個 L^p-有界的鞅，意指對 n 取 E[|M_n|^p] 的上確界有限，會同時幾乎必然且在 L^p 中收斂到一個 L^p 中的極限 M_infinity。引擎是 Doob 的 L^p 極大不等式，它控制跑動最大值並迫使差距在 p 次方均值上消失。對 p = 1：L^1-有界性「不」足以給出 L^1 收斂（加倍財富是 L^1-有界卻不在均值上收斂）。p = 1 的精確條件是一致可積：一個鞅在 L^1 中收斂，當且僅當它一致可積，此時它是一個 Doob 鞅，M_n = E[M_infinity given F_n]，乾淨地閉合。

為何在意 L^p 勝過幾乎必然？因為 L^p 收斂把均值以及（對 p = 2）變異數一起帶著走、給你乾淨的閉合 M_n = E[M_infinity given F_n]、並讓你能正當地交換極限與期望——這些正是單憑幾乎必然收斂無法許可的步驟。p = 2（均方）的情形特別受寵：平方可積鞅構成一個希爾伯特空間、增量彼此正交，且 E[M_n^2] = E[M_0^2] + 對 E[(DeltaM_k)^2] 求和（條件變異數像時間上的畢氏定理那樣相加）。提醒在於這條邊界：從 p > 1 跨到 p = 1 是真實的，而把「L^1-有界」與「一致可積」混淆是經典錯誤——前者只給幾乎必然的極限，後者連均值都給。