Doob 極大不等式（Doob's maximal inequality）
/ Doob rhymes with 'tube' /
知道一個過程在某個固定時刻的典型值很小是一回事；控制它在「一整段」時間裡曾爬到多高，則困難得多、也有用得多。若一場公平賭局的財富在零附近擺動，那麼在前 n 回合裡它「曾經」在「任何一刻」竄升到某個大水準 lambda 以上的機率是多少？Doob 極大不等式回答了這個：對一個鞅（或非負下鞅），整段跑動最大值超過某水準的機率，單由最終時刻的值就能控制。整條路徑的尖峰，由終點所支配。
記 M_n^* = 對 k 從 0 到 n 取 |M_k| 的最大，即過程到時刻 n 所達到的最大絕對值。對一個鞅 M（故 |M_n| 是非負下鞅），不等式陳述為對每個 lambda > 0 有 lambda * P(M_n^* >= lambda) <= E[|M_n|]。把它讀成加強版的馬可夫不等式：普通馬可夫界定「最終」時刻的值很大的機率，而 Doob 界定「到 n 為止某個」時刻的值很大的機率——卻付出相同的代價 E[|M_n|]/lambda。它之所以成立是一個停時論證：令 T 為 |M_k| 首次越過 lambda 的時刻；在最大值被超過的事件上，M_T 至少為 lambda，而下鞅性質從下方把 E[|M_n|] 釘在 lambda * P(最大被超過) 之上。還有一個強力的 L^p 版本：對 p > 1，E[(M_n^*)^p] <= (p/(p-1))^p * E[|M_n|^p]，用終點的期望大小界定尖峰的期望大小。
這個不等式是一塊基石。L^p 形式是讓鞅在 L^p 中收斂的引擎，也是通往收斂定理的不依賴上穿之路的底層；它還是控制布朗運動最大值之界的離散祖先。誠實的提醒：不等式需要 M 是鞅、或 |M| 是非負下鞅，而 L^p 版本確實要求 p > 1——在 p = 1 時常數 p/(p-1) 爆掉、乾淨的界失效，這正是 L^1-有界鞅幾乎必然收斂卻不一定在 L^1 收斂的技術原因。
對公平 +/-1 漫步 S_n，Doob 不等式說 P(對 k <= n 取 max |S_k| >= lambda) <= E[|S_n|]/lambda。由於 E[|S_n|] 約為 sqrt(2n/pi)，在 n 步內漫步尖峰曾超過 lambda 的機率被約 sqrt(2n/pi)/lambda 所界——一個單一的終點量就控制了整條軌跡最高的偏遊。
整條路徑的最大值由終點控制：比普通馬可夫更強的陳述，代價卻相同。
L^p 極大不等式只在 p > 1 成立；常數 p/(p-1) 在 p = 1 時發散。這正是 L^1-有界鞅幾乎必然收斂、卻可能不在 L^1 收斂的原因。