鞅收斂定理（martingale convergence theorem）

一場公平賭局的財富上下抖動，沒有任何內建的、朝某固定值的拉力，所以令人驚訝的是：只要擺動在平均意義上不能無界地增長，財富就必定最終安定到一個確定的（隨機的）極限。這就是鞅收斂定理的內容，機率論中最深刻也最有用的結果之一：一個在「平均大小」意義下保持有界的鞅，幾乎必然收斂。對一個平均而言被牽住的過程而言，無止盡的振盪是不可能的。

精確陳述：若 M_n 是 L^1-有界的鞅（或下鞅、或上鞅），意指對 n 取 E[|M_n|] 的上確界有限，則存在一個 E[|M_infinity|] 有限的隨機變數 M_infinity，使 M_n 幾乎必然收斂到 M_infinity（對幾乎每一個結果，路徑都有一個真正的極限）。一個常見、易檢查的充分條件是鞅被某常數從上或從下所界、或非負——一個非負上鞅永遠收斂。證明走過上穿不等式：L^1-有界性迫使每個間隔 [a, b] 的上穿期望次數有限，所以路徑無法無窮多次橫越任何帶區，而一個不振盪、平均有界的數列必定收斂。

最重要的單一提醒：幾乎必然收斂「並不」蘊含均值收斂，而極限的期望可能與鞅本身不符。教科書的反例是加倍下注的財富（或由均值為一的變數之積建成的「指數鞅」）：它是一個非負鞅，對所有 n 都有 E[M_n] = 1，卻幾乎必然收斂到 M_infinity = 0，所以 E[M_infinity] = 0 而非 1。質量沿著罕見路徑逃向了無窮。要同時得到 L^1 收斂——以及乾淨的恆等式 M_n = E[M_infinity given F_n]——你需要一致可積這個額外假設。赤裸的定理給你一個極限；一致可積才使那個極限規矩。