下鞅與上鞅（submartingales and supermartingales）

大多數真實賭局並非完全公平。賭場的利潤往往朝對自己有利的方向悄悄上爬；一個粗心賭徒的財富往往朝下流失。為了刻畫這些，我們把鞅的精確平衡放鬆成一個不等式，得到兩個近親。下鞅是一場平均而言對玩家有利的賭局——下一個值的預測絕不低於現在。上鞅則相反——平均而言不利，預測絕不高於現在。它們是公平賭局的傾斜版本。

精確地說，在 M_n 可積且適應於過去之下，下鞅對每個 n 滿足 E[M_(n+1) given 過去) >= M_n，而上鞅滿足 E[M_(n+1) given 過去) <= M_n。鞅恰好是兩個不等式都成立、得到等號的臨界情形。這兩個名稱初看會覺得反了，有個記憶訣竅：「上（super）」雖坐得高，卻傾向往「下」走（上鞅在期望上遞減，像下滑的財富）；「下（sub）」雖坐得低，卻傾向往「上」走。取期望可看出下鞅的均值對 n 不遞減、上鞅的均值對 n 不遞增。一個好用的事實：若 M_n 是鞅、phi 是凸函數（且 phi(M_n) 可積），則 phi(M_n) 是下鞅——例如 |M_n| 與 M_n^2 都是下鞅，這個事實驅動了許多不等式。

這些變體之所以重要，是因為大自然鮮少恰好遞給你一個完全公平的過程，而許多鞅定理只要把等號換成相應的不等號，就能延伸到傾斜的情形——選擇停止定理、極大不等式與收斂定理都有下鞅與上鞅版本。一個核心分解（Doob 的）甚至指出任何下鞅都能唯一地拆成一個鞅加上一個可預測的遞增「漂移」，乾淨地把公平的部分與有利的趨勢分開。