Doob 分解（Doob decomposition）
/ Doob rhymes with 'tube' /
一場有利賭局是兩樣東西糾纏在一起：一個誠實的公平賭局擺動，加上一股穩定地朝你有利方向的漂移。能把這兩者撬開該有多好——精確地說出一個過程有多少是「純粹的公平雜訊」、多少是「你本可預見的系統性趨勢」。Doob 分解恰恰做到這件事，而且做得唯一：每個（離散時間的）下鞅，都以唯一一種方式拆成一個鞅加上一個可預測的遞增過程。
精確地說，若 X_n 是適應於某過濾族的下鞅，則存在唯一的過程 M_n 與 A_n，使得 X_n = M_n + A_n，其中 M_n 是鞅（公平雜訊的部分）、A_n 可預測且 A_0 = 0 並不遞減（可預見的漂移，稱為補償子 compensator），且此分解唯一。其構造是顯式的，值得一看：漂移增量恰是條件期望的上升，A_n - A_(n-1) = E[X_n given F_(n-1)] - X_(n-1)，它非負正是因為 X 是下鞅；接著定義 M_n = X_n - A_n，一行驗證即確認 M 是鞅。於是 A_n 累積了所有可預測的「拉力」，而剩下的 M_n 則真正公平。對一般的適應可積過程，同一公式仍成立，只是 A_n 可預測但不再單調。
這是從帶雜訊的過程中讀出趨勢最乾淨的方法，也是本領域一顆皇冠寶石的離散藍圖：在連續時間裡，同樣的想法成了 Doob-Meyer 分解，而遞增的補償子 A_n 成了驅動隨機微積分與伊藤積分的二次變差與漂移項。誠實的提醒：分解出的是一個「可預測」的遞增部分——若你只堅持 A_n 適應而非可預測，唯一性就喪失了（你可以在 M 與 A 之間挪動隨機性）。可預測性正是把這個拆分釘成唯一答案的約束。
令 S_n 為公平 +/-1 漫步、X_n = S_n^2，一個下鞅。其條件上升為 E[S_n^2 given F_(n-1)] - S_(n-1)^2 = 1（每步給平方加上期望 1），故補償子為 A_n = n。分解是 S_n^2 = (S_n^2 - n) + n：鞅部分 S_n^2 - n 加上可預測漂移 n。正是這個鞅讓選擇停止得以讀出期望觸及時間。
每個下鞅 = 公平雜訊（一個鞅）＋可預見漂移（一個可預測遞增補償子），且唯一。
唯一性要求漂移 A_n 是「可預測」的，而不僅是適應的。拿掉可預測性，你便能在鞅與漂移間挪動隨機性，破壞唯一性。