二次變差（quadratic variation）

假設你想量一條扭動路徑在一段時間區間內「動了多少」。最樸素的量法是把所有上上下下小移動的長度加起來——那是總變差，描跡的筆實際走過的距離。對一條布朗路徑來說這是無窮的：路徑太皺，即使在一秒內筆也走過無界的距離。所以我們需要一把更溫和的尺。二次變差做同樣的清點，但把小移動的「平方」加起來，而非長度。平方馴服了混亂，而答案竟然漂亮地簡單而有限。

做法如下。把區間 [0, t] 切成 n 個相等的小段。在每一段上算 B 的變化、平方它，再把全部 n 個平方加起來：對 [B(t_(k+1)) - B(t_k)]^2 求和。當你把小段切得越來越細（n 趨於無窮），這個和「不」會縮到零、也不會爆炸——它恰好收斂到 t。所以布朗運動在 [0, t] 上的二次變差等於 t，記作 [B, B]_t = t。原因在於變異數的記帳：每個長度為 t/n 的小段上的平方增量平均為 t/n，共有 n 個，所以和的平均是 n 乘以 (t/n) = t；又因為各段獨立，圍繞 t 的隨機波動在極限中被洗掉。相對地，一條平滑曲線的二次變差為零——它微小的變化是 (t/n) 階，其平方是 (t/n)^2 階，加起來趨於 0。

這個單一事實 [B, B]_t = t 是隨機微積分的引擎。它由啟發式 (dB)^2 = dt 概括：一個平方的布朗增量表現得不像可忽略的二階項（如普通微積分裡的 (dx)^2），而像一個貨真價實的一階量 dt。這種拒絕消失正是普通鏈鎖法則破裂、以及伊藤引理帶有一個額外二階導數項的原因。二次變差也是區分真布朗路徑與平滑贗品的東西：它是真實粗糙性的指紋，而在金融中它是「波動率」的數學歸宿。