連續但處處不可微的路徑（continuous, nowhere-differentiable paths）

把一條平滑曲線放大，它終究看起來像一條直線——這正是「有導數」的意思：在每一點都有明確定義的斜率、一個速度。現在把一條布朗路徑放大。它從不變直。把任何極小的一段放大，你看到的還是和整體一樣的皺褶混亂；沒有斜率可讀，沒有瞬時速度，哪裡都沒有。一條布朗路徑是連續的（沒有間隙或跳躍——你可以一筆不離紙地畫出它），卻在「任何一點」都不可微。它是教科書裡的怪物：一條不間斷卻沒有方向的曲線。

為什麼平滑性會失效？看定義時間 t 處導數的差商：[B(t + h) - B(t)] / h。分子是一個 Normal(0, h) 隨機變數，所以它的典型大小是 sqrt(h)。除以 h 得到典型大小 sqrt(h)/h = 1/sqrt(h)。當 h 縮向 0，這會爆炸到無窮——那個想當斜率的東西沒有有限極限，它狂烈振盪而不安定。這在每一個 t 上同時發生（機率為一），這就是路徑處處不可微的原因。直覺上的根源在於增量是獨立的：下一瞬攜帶著與當下方向毫無關聯的全新隨機性，所以路徑永遠無法定下一條切線。

這不是一個可以揮手帶過的病態奇觀——它是重塑下游一切的結構性事實。因為沒有速度 dB/dt，你無法寫出由布朗運動驅動的普通微分方程；符號「dB」必須透過伊藤積分重新詮釋。又因為路徑太粗糙以致沒有斜率，卻又恰好粗糙到能累積出有限的「二次變差」，普通的鏈鎖法則失效，由伊藤引理取而代之。這份粗糙性是整套隨機微積分的源頭，而不是一個尷尬的腳註。