伊藤積分（Ito integral）
/ EE-toh /
普通的積分「integral of f dt」把一個量 f 以平滑的時間加權加總。但如果你想改去對鋸齒狀的布朗運動 B 積分呢——寫「integral of f dB」，意指當隨機的驅動者 B 扭動時 f 的累積效應？這是隨機微積分的核心物件，而最深刻的應用是一個下注／交易的故事：若 B 是隨機的價格路徑、H(t) 是你在時間 t 持有的股數，那麼「integral of H dB」就是你的總交易利潤。麻煩在於 B 沒有導數且總變差無窮，所以積分的尋常定義根本不適用。伊藤積分就是那項細心的修補。
它建構為簡單和的極限，但有一條關鍵規則賦予它全部的性格：你必須在每個小時間步的「左端點」、在 B 的隨機增量「發生之前」求積分被積函數 H 的值。把 [0, T] 切成小段；伊藤積分是 sum of H(t_k) 乘以 [B(t_(k+1)) - B(t_k)] 的極限——注意 H 取在 t_k，也就是該步的起點。左端點規則不是技術細節：它編碼了「不偷看未來」。你必須僅用直到時間 t_k 為止可得的資訊來選擇你的持股 H(t_k)（你的賭注），然後市場變動 B(t_(k+1)) - B(t_k) 才發生。這使被積函數成為一個「可預測」過程，正是它讓建構保持誠實、並賦予伊藤積分其標誌性質。
那個標誌性質是：伊藤積分本身是一個「鞅」：一個公平賭局，E[「integral of H dB」] = 0。因為你總是在公平硬幣翻面之前下注，沒有任何策略能製造出期望利潤——積分繼承了布朗運動的公平性。還有一條乾淨的變異數規則，伊藤等距：E[(「integral of H dB」)^2] = E[「integral of H^2 dt」]，它把隨機積分的變異數轉成一個普通積分。兩個誠實的告誡：第一，左端點的選擇是真的有差——改取中點會得到不同的 Stratonovich 積分（它遵守普通微積分，但不是鞅）。第二，這整套建構是深水區；嚴格的極限活在均方收斂裡，需要測度論才能滴水不漏。
取最簡單的情形 H(t) = B(t)，把 B 對自己積分。樸素的微積分會猜「integral of B dB」= B(T)^2 / 2，但左端點規則與 (dB)^2 = dt 給出正確答案「integral of B dB」= B(T)^2 / 2 - T/2。多出來的 -T/2 正是普通微積分漏掉的二次變差修正。
在每次擲幣前下注，使伊藤積分成為一個均值為零的公平賭局（鞅）。
在「左端點」求被積函數的值至關重要——它強制「不偷看」並使積分成為鞅。改用中點會得到不同的 Stratonovich 積分，那不是鞅。