布朗運動（維納過程，Brownian motion / Wiener process）

把一粒花粉丟進靜止的水裡，用顯微鏡觀察：它顫動著，朝各個方向以微小隨機的猛然抖動漂移，從不安定，路徑是一團瘋狂的皺褶。這種抖動正是植物學家羅伯特・布朗（Robert Brown）在 1827 年看到的，而布朗運動就是它的理想化數學模型。想像一個不知疲倦的醉漢，每秒踏出無限多步、每步無限小的隨機步伐——所描出的那條看似平滑卻狂野扭動的曲線，就是一條布朗路徑。它是最重要的連續時間隨機過程，是從擲硬幣的隨機性通往金融與物理之微積分的橋樑。

形式上，標準布朗運動是一個關於時間的隨機函數 B(t)（t 至少為 0），由四條性質釘死。它從原點出發：B(0) = 0。它的增量是獨立的：未來一段窗口上的變化 B(t) - B(s)，對於先前一段不重疊窗口上的變化毫無資訊。它的增量是平穩且高斯的：任何長度為 h 的窗口上的變化服從 Normal(0, h)——均值為零、變異數恰好等於經過的時間 h，所以典型的游走距離隨時間的平方根而增長。而它的路徑是連續的：你可以一筆不離紙地畫出整條曲線。這四個要求——從零出發、增量獨立、增量為變異數等於經過時間的高斯、路徑連續——把這個過程完全確定下來。

布朗運動之所以位居機率論的核心，是因為幾乎一切連續而隨機的東西都由它建成。它是簡單隨機漫步的尺度極限（Donsker 定理），所以它是連續時間版的中央極限定理：把任何良好的隨機漫步拉遠來看，它就像布朗運動。它同時是一個鞅、也是一個高斯過程。它怪異的路徑——處處連續卻處處不可微——逼著我們發展出一套全新的微積分（伊藤微積分）。從它衍生出熱擴散、波動股價與雜訊物理系統的模型。誠實的提醒：本領域的一切都是機率論的深水區，這裡只為直覺而勾勒；嚴格的建構與證明需要真正的測度論。