Donsker 定理（不變原理，Donsker's theorem / invariance principle）
/ DON-sker /
普通的中央極限定理說：把許多獨立的小衝擊加起來，這個「和」看起來像常態。Donsker 定理把這件事從單一端點升級到整條「路徑」。取一個隨機漫步——一個粒子每一拍踏出 +1 或 -1 一步——這次不只問它最後落在哪裡，而是觀察整條鋸齒狀的軌跡。Donsker 定理說：若以正確的方式把步伐縮小、把時間加快，那條階梯狀軌跡，視為一條曲線，會收斂到一個布朗運動。這就是布朗運動成為普適的連續時間極限的原因：它是整段旅程（而不只是終點）的中央極限定理。
縮小與加快的正確方式如下。令 S_n 為一個均值零、變異數一的隨機漫步走 n 步後的位置。在時間 k/n 處畫出 S_k 並把點連起來，造出一條連續曲線 W_n(t)，再把縱向尺度除以 sqrt(n) 來壓扁：W_n(t) = S_(floor(nt)) / sqrt(n)。這個平方根的壓扁恰恰是中央極限定理的尺度——它讓每個時間 t 處的變異數保持等於 t。當 n 增大，這個重新尺度化的漫步 W_n（在連續路徑空間上、依分布）收斂到一個標準布朗運動 B。古典的中央極限定理不過是它在單一時間 t = 1 處的快照。
「不變原理」這個名字道出了重點：極限「不」依賴於步伐分布的細節。無論你的步伐是正負一、是常態、還是任何均值零、有限變異數的形狀，重新尺度化的路徑都收斂到「同一個」布朗運動。這種普適性正是為什麼單一物件——布朗運動——能模擬如此眾多不同的微觀隨機性，也讓你能改去算布朗運動，來求複雜漫步泛函（如最大值、或停留在正值的時間）的極限分布。但代價與中央極限定理相同：必須有限變異數；重尾步伐會收斂到不同的、帶跳躍的極限。
擲一枚公正硬幣 10000 次，正面記 +1、反面記 -1，把累計總和對擲的次數畫出來。重新尺度化：把累計總和除以 sqrt(10000) = 100，並把擲的次數放在 0 到 1 的軸上。所得曲線在統計上幾乎與 [0, 1] 上的一條布朗路徑無法區分。
重新尺度化的隨機漫步作為整條路徑（而不只是端點）收斂到布朗運動。
與中央極限定理一樣，這需要有限的步伐變異數。若步伐為無限變異數（重尾），重新尺度化的路徑會收斂到帶跳躍的 Levy 過程，而非連續的布朗運動。