依分布收斂（convergence in distribution）

假設你有一整列隨機變數——X_1, X_2, X_3 等等——你想說它們「安定下來」趨向某個極限變數 X。最溫和、最謙虛的說法是：它們分布的「形狀」安定了下來。你不保證個別的數字會接近任何東西；你只保證 X_n 的直方圖開始長得像 X 的直方圖。這就是依分布收斂。

精確地說：X_n 依分布收斂到 X，指的是累積分布函數在極限上一致——F_n(x) = P(X_n <= x) 在 F 連續的每一點 x 上趨近 F(x) = P(X <= x)（我們容許在 F 的跳躍點上不一致）。這幅圖純粹講機率的堆積，而不講是哪個結果產生了哪個數字。要檢驗它，你可以比較 CDF，或等價地證明對每個有界連續函數 g 都有 E[g(X_n)] 趨近 E[g(X)]，或者用最受歡迎的引擎——證明特徵函數收斂。

這是四種標準模式中最弱的一種，而它正是中央極限定理所給出的：許多獨立同分布變數標準化後的和依分布收斂到標準常態。但要誠實面對它「沒有」說的事。它對於變數是否活在同一個結果上隻字未提——X_n 與 X 甚至不必定義在同一個機率空間上，而且對任何特定結果，X_n 也不必在數值上接近 X。它是關於「律」的陳述，不是關於「點」的陳述。