雷維連續性定理（Lévy continuity theorem）
/ LEH-vee /
我們常想證明一列隨機變數安定到某個極限分布——例如標準化後的平均收斂到常態。直接處理分布很難；卷積與密度都笨重。雷維連續性定理給了我們一條輕鬆得多的路：不去比較分布，而是比較它們的特徵函數，後者只是實變數的普通函數，你可以逐點取極限。
這個定理是兩種收斂之間的一本字典。它說：一列隨機變數 X_n 依分布收斂到某個 X，當且僅當它們的特徵函數 phi_{X_n}(t) 對每個 t 都收斂到 phi_X(t)。對「當」這個方向有一個謹慎的條件——極限函數本身必須在 t = 0 連續——而當此成立時，極限函數自動是一個真正的特徵函數，你便得到依分布收斂到它所描述的變數。白話說：特徵函數的逐點收斂與依分布收斂是同一回事。困難的、幾何的「分布逐漸逼近極限」概念，化成了輕鬆的、分析的「函數收斂」概念。
這本字典是幾乎每一個用變換證明的極限定理背後的主力。要證明中央極限定理，你不再與一個和的分布搏鬥；你只要證明標準化和的特徵函數收斂到 e^(-t^2/2)，即標準常態的特徵函數，雷維定理立刻把它轉成依分布收斂到 常態(0, 1)。在 0 連續的條件是誠實的細則：少了它，一列特徵函數可能收斂到一個根本不是特徵函數的函數（例如機率質量逃逸到無窮時），所以這個條件正是用來排除那種洩漏的。
在中央極限定理的證明裡，標準化和 S_n* 的特徵函數是 (phi(t/sqrt(n)))^n。一個泰勒展開顯示對每個固定 t 它趨向 e^(-t^2/2)。這個極限在 0 連續，且是 常態(0,1) 的特徵函數，所以雷維定理得出 S_n* 依分布收斂到標準常態。
特徵函數的逐點收斂（加上在 0 連續）等同於依分布收斂。
在 0 連續的條件是不可或缺的：少了它，特徵函數可能在機率質量逃逸到無窮的同時收斂到一個非特徵函數，於是並沒有極限分布。