特徵函數（characteristic function）
動差母函數是個美妙的工具，卻很脆弱：對重尾分布它根本不存在，因為 E[e^(tX)] 可能爆到無窮大。機率學家想要一個同樣想法、卻永不崩壞的版本——一個編碼整個分布、保證對每個隨機變數都存在、毫無但書的單一函數。特徵函數正是如此：動差母函數那位永遠在場、完全嚴謹的表親。
它定義為 phi_X(t) = E[e^(itX)]，其中 i 是虛數單位（i^2 = -1）。和動差母函數只差一個字——在指數裡放進一個 i——這就是馴服它的關鍵。因為由歐拉公式 e^(itX) = cos(tX) + i sin(tX)，量 e^(itX) 的絕對值恆為 1；它是一個在單位圓上旋轉的點，永不增長。所以期望值 E[e^(itX)] 是有界事物的平均，保證有限，無論尾巴多重。用分析的語言說，phi_X(t) 是分布的傅立葉變換，這個連結把整套強大的傅立葉分析工具帶進機率裡。
動差母函數能做的一切，特徵函數都能做——而且是無條件地。它對獨立變數之和相乘，phi_{X+Y}(t) = phi_X(t) phi_Y(t)；它有唯一性定理（特徵函數相同就意味分布相同）；它有還原分布的反演公式；而它在 0 的導數依然生成動差，只要那些動差存在。它額外的一項超能力是連續性：特徵函數的收斂對應於依分布收斂（雷維定理），這正是把中央極限定理抬升為乾淨證明的那根槓桿。溫和的代價是它是複數值的，所以你得帶著一個虛部；但這點小小的記帳成本換來了保證存在。
對 X ~ 常態(0, 1)，特徵函數是 phi_X(t) = e^(-t^2/2)——實數、平滑且有界。即使對沒有均值、根本沒有動差母函數的柯西分配，特徵函數仍然存在，且是乾淨的 phi_X(t) = e^(-|t|)，正顯示這個工具恰恰在動差母函數放棄之處依然管用。
phi_X(t) = E[e^(itX)]：分布的傅立葉變換，以 1 為界且永遠有定義。
與動差母函數不同，特徵函數對每個隨機變數都永遠存在，因為 |e^(itX)| = 1 使期望值保持有限。代價是它是複數值的。