特徵函數的唯一性定理

要讓特徵函數值得信賴地代替分布，我們得知道沒有兩個不同的分布能躲在同一個特徵函數後面。正如指紋若能被兩人共用就毫無用處，一個分布的編碼若含糊就毫無用處。唯一性定理保證沒有含糊：特徵函數是一枚完美的指紋。

陳述很乾淨：若兩個隨機變數 X 與 Y 有相同的特徵函數，即對所有實數 t 都有 phi_X(t) = phi_Y(t)，則 X 與 Y 具有完全相同的分布。關鍵地，與動差母函數的唯一性定理不同，這裡沒有額外條件要檢查——不要求任何東西在鄰域內為有限，沒有對重尾的例外。既然特徵函數對每個分布都永遠存在，唯一性定理就對每個分布都適用，沒有但書。這就是嚴謹的脊樑，讓你能完全有把握地論證「我算出了特徵函數，它等於某個常態的，所以這個變數正是常態」。

這之所以行得通，更深的理由是特徵函數是分布的傅立葉變換，而傅立葉變換可逆——有一個反演公式能從 phi_X 重建分布。唯一性其實就是「這個重建毫無歧義」的陳述。這正是讓變換方法從頭到尾都合法的東西：把一個分布編碼成它的特徵函數，自由地操弄那個函數（對和相乘、對收斂取極限），再把結果解碼，並確知你讀出的答案是它唯一可能的那個分布。