動差母函數的唯一性定理

動差母函數唯有在分布無法偽裝自己時才值得信賴。想像兩個分布恰好共用同一個動差母函數——那麼你靠操弄動差母函數所證明的一切都會含糊不清。唯一性定理排除了這種情況：當動差母函數存在時，它就是指紋。沒有兩個不同的分布能產生相同的動差母函數，所以認出動差母函數就等於認出分布。

精確地說：若 X 與 Y 的動差母函數在 0 周圍某個開區間內的所有 t 上都相等且有限，則 X 與 Y 具有完全相同的分布。這正是讓標準證明策略合法的東西。你想知道某個複雜的東西服從什麼分布——比方一個獨立變數之和。你算出它的動差母函數，做點代數，發現答案與比方說常態的動差母函數相符。由唯一性，你現在可以下結論說那東西「就是」常態，而不只是與常態共享幾個動差。動差母函數成了一張你能讀出的名牌。

兩個誠實的提醒伴隨著這個乾淨的陳述。第一，它需要動差母函數在 0 附近存在；對重尾分布動差母函數沒有定義，所以這個定理什麼也不說，你必須改用特徵函數——它有自己的、沒有這種限制的唯一性定理。第二，別把這和「動差相符」混為一談。兩個分布可以共享每一個動差 E[X^k] 卻仍然不同——光是動差序列不一定是指紋。是「動差母函數在 0 的鄰域內存在」這個比「僅有有限動差」更強的條件，才保證唯一性。