斯陸茨基定理（Slutsky's theorem）
/ SLOOT-skee /
在真實的統計裡，你很少有乾淨的極限；你有的是一個正在依分布收斂到某個有趣事物（比方常態）的主量，與幾個僅僅收斂到常數的擾項糾纏在一起——估計的標準誤、樣本變異數。斯陸茨基定理精確地告訴你：什麼時候可以把那些擾項當成已經是它們的常數極限，然後把一切合併。
精確地說：假設 X_n 依分布收斂到 X，而 Y_n 依「機率」收斂到一個常數 c。則這些組合會如你所願：X_n + Y_n 依分布收斂到 X + c，乘積 X_n * Y_n 依分布收斂到 c*X，商 X_n / Y_n 依分布收斂到 X/c（前提是 c 不為 0）。關鍵的不對稱至關重要：一片收斂到真正的隨機極限（依分布），「另一」片必須收斂到常數（依機率）。然後你只要把常數塞進去。正是這個允許你把未知的 sigma 換成一致估計，而不改變極限的常態。
為什麼要在意，以及細則在哪裡咬人。斯陸茨基是讓信賴區間與 t 統計量奏效的黏著劑：(X-bar - mu)*sqrt(n) 漸近為 Normal(0, sigma^2)，而除以 sigma 的一致估計 s_n 仍給出標準常態極限，因為 s_n 依機率收斂到常數 sigma。誠實的警告：第二個序列必須收斂到「常數」，而非另一個隨機變數。若兩片在極限上都是真正隨機的，你不能就這樣把它們的分布相加——依分布收斂不尊重兩個隨機極限的相加，正是因為它對它們是否共享結果隻字未提。
要為均值建立信賴區間，寫 T_n = (X-bar - mu)*sqrt(n) / s_n。分子依分布收斂到 Normal(0, sigma^2)；分母 s_n 依機率收斂到常數 sigma。由斯陸茨基，T_n 依分布收斂到 Normal(0, 1)——所以即使 sigma 是估計來的，你仍可使用常態表。
一個收斂到常數的擾項可以塞進去，而不擾動極限分布。
第二個序列必須收斂到「常數」，而非另一個隨機變數。你一般無法把兩個依分布收斂的極限相加，因為這種模式對共享結果隻字未提。