Doob 鞅（Doob martingale）
/ Doob rhymes with 'tube' /
假設有一個你關心的、單一且固定的隨機量 Y——比如一場已分出勝負但尚未公布的比賽的最終比分，或一個隨機網路的總長度——而關於它的資訊逐步外洩。在每個階段，你只用目前所學到的東西，對 Y 形成當下最佳估計。隨著揭露更多，你的估計被精煉，並在驚奇到來時跳動。這一列跑動的最佳猜測就是 Doob 鞅：它不是由疊加公平衝擊建成，而是由把「一個固定變數」對「不斷成長的資訊流」取條件建成的。
具體地說，固定一個可積隨機變數 Y 與一個過濾族 F_0 包含於 F_1 包含於 F_2 ...。Doob 鞅是 M_n = E[Y given F_n]，即在時刻 n 所知一切之下你對 Y 的最佳估計。為什麼這自動是鞅？套用條件期望的塔性：E[M_(n+1) given F_n] = E[ E[Y given F_(n+1)] given F_n] = E[Y given F_n] = M_n，因為 F_n 包含於 F_(n+1)，而對較少資訊取條件會覆蓋對較多資訊取條件。所以「透過累積資料來估計一個固定目標」這個動作本身，就免費地成了一場公平賭局。值得注意的是，逆命題幾乎為真：一個一致可積的鞅恰好就是它自己極限的 Doob 鞅，M_n = E[M_infinity given F_n]——把「揭露固定的 Y」與「安定下來的公平賭局」這兩端接成一個迴圈。
Doob 鞅是測度集中方法的主力。要控制許多獨立輸入的複雜函數 f(Z_1, ..., Z_m)，令 Y = f 並讓 F_n 一次揭露一個輸入；只要改變一個輸入只讓 f 變動一點點，所得的 Doob 鞅就有有界增量，於是 Azuma-Hoeffding 不等式便證明 f 緊緊集中在它的均值附近。要記住的提醒：對任何可積的 Y 都存在 Doob 鞅，但唯有當過濾族最終包含關於 Y 的所有資訊時，它才會收斂回 Y 本身（而非 Y 的某個較小的 F-可測影子）。
把一副洗好的牌面朝下發出，令 Y 為前半部的紅牌張數。一次翻一張牌，令 M_n = E[Y given 已看見的前 n 張]。在任何翻開之前，M_0 = E[Y]；每張牌都推動估計一下；一旦 26 張被翻出，M_26 = Y 恰好相等。這個跑動的估計就是 Doob 鞅。
透過累積資訊估計一個固定的 Y，免費地就是一場公平賭局。
對任何可積的 Y，Doob 鞅 M_n = E[Y given F_n] 都存在，但唯有當過濾族最終捕捉到關於 Y 的所有資訊時，它才收斂回 Y。