給定 σ-代數的條件期望（conditional expectation given a sigma-algebra）

對單一變數 Y 取條件還算單純，但在隨機過程裡你想對「至今所有可觀測到的事」取條件——一整包資訊，不是任何單一變數能囊括的。把「一團資訊」打包的乾淨方式是用一個 σ-代數 G：一群事件，你被允許知道它們的答案（發生或沒發生）。對 G 取條件，意思是恰好用 G 裡的知識——不多也不少——來算出你對 X 的最佳估計。

其結果，記作 E[X given G]，仍然是一個隨機變數，並由兩個要求釘死。第一，它必須是 G-可測的：它只能依賴 G 裡的資訊，因此不能「偷看」G 之外的任何東西。第二，它在 G 裡每個事件上的平均必須與 X 相符：對 G 裡的每個集合 A，E[X given G] 在 A 上的平均等於 X 在 A 上的平均（部分平均條件）。值得注意的是，這兩個要求把 E[X given G] 唯一地決定下來（在機率為零的事件上可以差異）。對任何可積的 X，存在性都有保證——你可以把它建構成測度「X 在 A 上的積分」相對於限制在 G 上的 P 的 Radon-Nikodym 導數；或者當 X 有有限變異數時，建構成 X 在 G-可測函數空間上的正交投影。

這個抽象定義看來嚴峻，卻把一切都統一了：E[X given Y] 不過是 G 取為 Y 所生成的資訊時的 E[X given G]，而普通期望 E[X] 則是 G 為平凡 σ-代數（你什麼都不知道）的情形。它是鞅、過濾族以及整套隨機過程機制底下的引擎。誠實的提醒：E[X given G] 只在機率為零的集合上之外有定義，所以它其實是一個隨機變數的等價類，而所有標準性質（塔性、線性等等）都是「幾乎必然」成立，而非對每一個結果都成立。