對的長正合序列（long exact sequence of a pair）
設 A 作為子空間落在 X 之中。你知道 A 的同調而想求 X 的同調，或反之。對 (X, A) 的長正合序列就是把三族群——A 的、X 的，以及相對同調 H_n(X, A) 的——綁進一條無窮映射鏈的記帳裝置，綁得如此緊，以致知道大部分群就迫出其餘的。
相對同調 H_n(X, A) 由商鏈複形 C_n(X)/C_n(A) 定義：X 中的鏈對已住在 A 中的鏈取模，因此它看見 X 中相對於 A 真正「新」的部分。長正合序列於是是 ... -> H_n(A) -> H_n(X) -> H_n(X, A) -> H_{n-1}(A) -> H_{n-1}(X) -> ...，永遠往下走。第一個映射由包含 A 進入 X 誘導，第二個由商誘導，第三個——連接同態 d——取一個相對閉鏈，施以邊界，落在 A 中（相對閉鏈的邊界自動是 A 中的閉鏈）。正合意指在每個群處，進入映射的像等於離開映射的核。
正合就是全部威力：它讓你以消去法計算。若三個相鄰群中已知兩個，第三個就被重重約束，而在某映射被迫為零或滿時，短正合片段分裂出來，把未知群定到差一個擴張。這是同調中最常用的計算引擎——你由子空間構造空間，寫下序列，讀出答案。
一個誠實的微妙處：「正合」恰是像 = 核的條件，嚴格強於「合成為零」（那只給出像落在核內）。當出現擴張問題時，長正合序列本身並不唯一確定群：由短正合序列 0 -> Z -> G -> Z -> 0 你無法在沒有更多資訊下判定 G 是否為 Z + Z。所以序列約束、常常確定，但不是萬能黑盒。
取 X = D^2 圓盤，A = S^1 其邊界圓。圓盤可縮，故對 n > 0 有 H_n(D^2) = 0 且 H_0 = Z。次數 2 附近的序列為 0 = H_2(D^2) -> H_2(D^2, S^1) -> H_1(S^1) = Z -> H_1(D^2) = 0，迫使 H_2(D^2, S^1) = Z。這重現了圓盤相對於其邊界在同調上「就是」一個二維球面。
對 (D^2, S^1)：長正合序列以消去法確定 H_2(D^2, S^1) = Z。
正合意指像等於核，嚴格地多於合成為零；而帶非平凡擴張的正合序列在沒有額外資料時並不把中間群確定到同構。相對同調 H_n(X, A) 一般不是任何單一空間的同調——它是商複形的同調。