艾倫伯格-斯廷羅德公理（Eilenberg-Steenrod axioms）
/ EYE-len-berg STEEN-rod /
到了 1940 年代，已有數種構造都叫「同調」——奇異、單純、切赫——而它們在合理的空間上不斷給出相同答案。艾倫伯格與斯廷羅德問了結構性的問題：什麼樣最小的性質清單迫使這種一致？他們的公理就是答案。它們定義了「成為一個同調理論」究竟意味什麼，並證明在 CW 對的範疇上這些公理唯一地確定該理論。
一個同調理論是一列函子 H_n(X, A)（H_n(X) 是 A 為空的情形）連同連接同態，要求滿足：(1) 同倫——同倫的映射在同調上誘導相同的映射。(2) 切除——切除同構成立。(3) 對的長正合序列——序列 ... -> H_n(A) -> H_n(X) -> H_n(X,A) -> H_{n-1}(A) -> ... 正合且自然。(4) 可加性——不交併的同調是各塊同調的直和。以及關鍵的 (5) 維數公理——單點的同調集中在零次，H_0(點) = G（係數群）且 H_n(點) = 0 當 n 非零。艾倫伯格-斯廷羅德定理：在 CW 對上，任兩個有相同係數群且滿足全部五條的同調理論自然同構。
概念上的收穫巨大。你不再需要每次都手動證明奇異、胞腔、單純同調一致；你檢查每個都滿足公理，唯一性辦其餘。公理也重組了學科：每個關於同調的定理，要嘛由公理推出（於是對每個同調理論成立），要嘛確實用到特定的構造。
深刻的轉折是維數公理正是你可以丟掉的那條。一個滿足公理 1 到 4、但容許 H_n(點) 在 n 非零時非零的理論，稱為廣義（或非常）同調理論——拓樸 K 理論、配邊與穩定同倫正是這些。所以艾倫伯格-斯廷羅德框架不只是普通同調的刻畫；刪去一條公理，它開啟了通往現代拓樸最豐富不變量的門。在不指明維數公理的情況下稱某物為「一個同調理論」確實是有歧義的。
僅用公理計算 H_n(S^k)。維數公理給出一點的同調；長正合序列與切除透過懸垂同構把 H_n(S^k) 與 H_{n-1}(S^{k-1}) 相關聯；從 S^0（兩點）歸納得 H_n(S^k) = Z 當 n = 0, k，其餘為零——全程未碰任何奇異單純形。
球面的同調僅由公理推出，無需任何特定模型。
僅丟掉維數公理便得到廣義同調理論，如 K 理論與配邊——這些的一點同調非平凡。所以除非你說明是否假設維數公理，否則「同調理論」是有歧義的。