胞腔同調（cellular homology）

若一個空間是一個胞腔接一個胞腔組裝起來的——先是點，再是端點黏好的弧，再是沿邊緣黏上的圓盤，如此繼續（一個 CW 複形）——那麼它的同調應該僅由這些胞腔以及每個胞腔的黏貼方式就能算出。胞腔同調正好提供這個：一個每個胞腔一個生成元的鏈複形，遠小於奇異複形，卻計算出相同的同調群。

胞腔鏈群 C_n^{CW} 是 X 的 n 胞腔上的自由阿貝爾群。它的邊界映射是胞腔邊界，用度來計算：(n-1) 胞腔 e' 在 n 胞腔 e 的邊界中的係數，是把 e 沿其邊界球面黏貼、再把除 e' 外一切壓掉所得映射 S^{n-1} -> S^{n-1} 的度。這些整數記在關聯矩陣裡。透過骨架過濾的長正合序列與切除，可證 d 平方 = 0，且所得同調 H_n(C^{CW}) 自然同構於奇異同調 H_n(X)。

實用威力極為驚人。對僅有有限多胞腔的 CW 複形，鏈群是有限生成的，邊界映射是明確的整數矩陣，於是同調化為手算或機算的史密斯標準形。當胞腔散佈於各維度使得相鄰維度的任兩胞腔不共享邊界度時，所有邊界映射皆為零，同調就只是胞腔上的自由阿貝爾群——這正是為何複射影空間 CP^n（每個偶維度恰一個胞腔）有 H_{2k} = Z 而所有奇數同調為零。

誠實的細則：胞腔同調需要 CW 結構，而答案與你選哪個 CW 結構無關（這正是與奇異同調一致的內容）。度的計算可能確實微妙——黏貼映射中的定向與符號必須仔細追蹤，一個粗心的符號把正確的關聯數變成錯的。此方法計算包含撓的整係數同調，不像德拉姆上同調對撓視而不見。