奇異同調（singular homology）
一個空間有多少個洞，各是幾維的？圓有一個一維洞；球面有一個二維空腔卻沒有一維洞；環面有兩個一維洞與一個二維洞。奇異同調就是把這些含糊的計數轉化為扎實的阿貝爾群 H_n(X) 的機器——每個維度 n 一個——而且對任何拓樸空間都有定義，不需要空間被三角剖分或構造得漂亮。
以下是構造的平實步驟。一個奇異 n 單純形就是從標準 n 單純形（一點、一線段、一三角形、一四面體等等）到 X 的一個連續映射 sigma: Delta^n -> X。由這些映射的形式整數組合構成自由阿貝爾群 C_n(X)——這些就是 n 鏈。邊界算子 d_n: C_n -> C_{n-1} 把每個單純形送到其各面的交錯和，且關鍵恆等式 d_{n-1} d_n = 0 成立。於是邊界（d_{n+1} 的像）落在閉鏈（d_n 的核）之內，第 n 個同調群就是商 H_n(X) = ker(d_n) / im(d_{n+1})：不是邊界的閉鏈，在「相差一個邊界」這個關係下計數。
回報在於 H_n 是同倫不變量（同倫等價的空間有同構的同調），且在實務上可透過長正合序列、切除與胞腔方法計算，儘管鏈群 C_n(X) 本身龐大無比（不可數生成）。你幾乎從不直接用奇異鏈計算；它們的價值是理論性的——使理論對每個空間都有定義且顯然函子性，於是連續映射 f: X -> Y 自動誘導同態 f_*: H_n(X) -> H_n(Y)。
一個誠實的提醒：同調只在阿貝爾化之後計數洞。它看不到基本群所記錄的非交換資訊——H_1(X) 恰是 pi_1(X) 的阿貝爾化，因此它遺忘了迴圈被走過的順序。兩個空間可以在每個維度都有相同的同調卻確實不同（甚至非同倫等價），所以同調是強大但有損的不變量。
對二維球面 S^2：H_0 = Z（一個連通分支）、H_1 = 0（沒有一維洞——S^2 上每個迴圈都圍出一塊帽子）、H_2 = Z（一個二維空腔，由整個球面的基本閉鏈生成）。所有更高的 H_n 皆為零。對照環面 T^2：H_0 = Z、H_1 = Z + Z（兩個獨立迴圈）、H_2 = Z。
S^2 與 T^2 的同調：H_1 一眼就把它們區分開。
H_1(X) 是 pi_1(X) 的阿貝爾化，所以在一維上同調嚴格弱於基本群：它無法區分那些迴圈以相同方式交換、卻非阿貝爾地相互作用的空間。