單純同調（simplicial homology）
若一個空間是由三角形、四面體及其高維類比沿邊黏合而成——一個單純複形——那麼就有一套有限、可動手的方法計算它的洞，完全不必碰奇異理論那不可數的機器。單純同調就是這套組合配方：你列出各單純形，帶符號寫下它們的邊界，然後在整數上做線性代數。
具體而言，先固定頂點的一個排序。一個定向 n 單純形 [v_0, ..., v_n] 為鏈群 C_n 貢獻一個生成元，而 C_n 現在是複形中有限多個 n 單純形上的自由阿貝爾群。邊界算子是明確的交錯面和 d[v_0, ..., v_n] = sum over i of (-1)^i [v_0, ..., v_i-hat, ..., v_n]，其中帽子表示刪去該頂點。透過直接的符號記帳可驗證 d d = 0，然後 H_n = ker(d_n) / im(d_{n+1})，與先前完全一樣——但現在每個群都是有限生成的，因此你可以實際地把整數矩陣化為史密斯標準形，算出秩與撓元。
由艾倫伯格等人證明的深刻事實是：對可三角剖分的空間，任一三角剖分的單純同調與底空間的奇異同調一致，因此與所選的三角剖分無關。這正是一切手算的依據：你挑最經濟的三角剖分，把矩陣磨出來，答案就是真正的拓樸不變量。它也是整個學科歷史與概念上的根源——同調最初是單純的，奇異理論後來才出現以去除三角剖分的假設。
誠實的限制就是三角剖分假設本身。並非每個空間都是單純複形，即便對流形而言三角剖分的存在性也很微妙（在高維可能失敗）。當你已有組合模型時，單純同調是對的工具；對任意空間則退回奇異或胞腔同調。
把圓 S^1 三角剖分為一個三角形的邊界：三個頂點 a、b、c 與三條邊。1 鏈由 [a,b]、[b,c]、[c,a] 張成；閉鏈 [a,b]+[b,c]+[c,a] 的邊界為零，但它本身不是任何 2 鏈的邊界（沒有 2 單純形），因此生成 H_1 = Z，與圓的一個洞相符。
S^1 的邊界三角形：一個非平凡 1 閉鏈給出 H_1 = Z。
單純同調與奇異同調對可三角剖分的空間一致，但這個一致是定理而非定義；不要假設每個空間都容許三角剖分——在高維有些並不容許。