鏈複形（chain complex）

鏈複形是一切同調賴以懸掛的純粹代數骨架。剝去空間與三角形的幾何，剩下的就是一串阿貝爾群，相鄰者之間有映射，排列成連做兩個映射即得零。這條單一規則反覆套用，就足以定義同調——幾何不過是產生這類複形的一種方式。

精確地說：鏈複形是一串阿貝爾群（或某環上的模）... -> C_{n+1} -> C_n -> C_{n-1} -> ...，連同同態 d_n: C_n -> C_{n-1}（稱為微分或邊界映射），滿足基本恆等式 d_n 與 d_{n+1} 的合成 = 0 對每個 n 成立。這個恆等式說 d_{n+1} 的像落在 d_n 的核之內。ker(d_n) 的元素稱為閉鏈，im(d_{n+1}) 的元素稱為邊界，而複形的第 n 個同調就是商群 H_n = ker(d_n) / im(d_{n+1})。同調恰好度量複形在 C_n 處離正合有多遠——它就是「不是邊界的閉鏈」。

何必抽象？因為同一套機器於是處處運轉：奇異、單純、胞腔鏈，微分形式的德拉姆複形，群上同調，代數中的科斯居爾複形，全是鏈（或上鏈）複形，而對複形證明一次的定理——蛇引理、長正合序列、鏈同倫不變性——無須額外代價地適用於它們全部。複形之間的鏈映射是一族與微分交換的同態，它在同調上誘導映射；正是這種函子性使整座大廈可計算。

一個小而重要的約定：降指標（d 降低次數）給出鏈複形與同調 H_n；升指標（d 升高次數）給出上鏈複形與上同調 H^n。它們是同一概念的對偶記帳，用哪個只看箭頭指向，並非原則上的差異。