鏈同倫（chain homotopy）

兩個能彼此連續形變的連續映射，理應無法被同調區分——這正是我們想要的同倫不變性。鏈同倫是幾何同倫精確的代數投影：它是兩個鏈映射之間的條件，保證它們在同調上誘導相同的映射，也是證明同倫不變性所用的工具。

設 f 與 g 是從複形 (C, d) 到複形 (C', d') 的兩個鏈映射。從 f 到 g 的鏈同倫是一族同態 P_n: C_n -> C'_{n+1}（注意：把次數升高一），滿足恆等式 f_n - g_n = d'_{n+1} P_n + P_{n-1} d_n。讀右邊：P 把鏈往上滑一維，在兩側各作一次邊界，兩項合起來恰好解釋 f - g 的差。升次的 P 背後的幾何圖像是稜柱：空間的同倫把每個 n 單純形掃成一個 (n+1) 維稜柱，而 P 就是「填滿稜柱」的代數運算。

值得背下的唯一回報：若 f 與 g 鏈同倫，則它們在同調上誘導相同的同態 f_* = g_* : H_n(C) -> H_n(C')。證明只有一行——在閉鏈 z（其中 d z = 0）上得 f(z) - g(z) = d'(P z) + P(d z) = d'(P z)，是個邊界，故在同調中為零。由這單一引理流出諸基石：同倫的連續映射在 H_n 上誘導相等的映射，同倫等價的空間有同構的同調，可縮空間有一點的同調。

一個提醒：鏈同倫是鏈映射上的等價關係，但它嚴格地比相等更粗。兩個確實不同的鏈映射可以鏈同倫；它們共有的只是對同調的作用。所以「鏈同倫」絕不意味「作為鏈的映射相等」——它意味「過渡到同調後相等」，正是這種鬆弛使不變量穩健。