切除定理（excision theorem）

相對同調 H_n(X, A) 應該度量「A 之外的 X」。直覺上，發生在 A 深處、遠離 A 與 X 其餘部分相遇之處的事，不該影響這個度量——你應該能切掉 A 內部的一塊而不改變相對同調。切除定理使這個直覺精確，它也是（與長正合序列並列）使同調根本可計算的兩個事實之一。

精確地說：設 Z 是一個子集，其閉包落在 A 的內部之中（故 Z 安全地埋在 A 裡）。則對的包含 (X 去掉 Z, A 去掉 Z) 進入 (X, A) 在相對同調上誘導同構，H_n(X 去掉 Z, A 去掉 Z) 同構於 H_n(X, A) 對每個 n。換言之：你可以切除——挖掉——埋藏的集 Z，從 X 與 A 兩者，而相對同調毫無察覺。有一個等價且常更方便的形式：若 X 被兩個子空間 A 與 B 的內部覆蓋，則 H_n(X, A) 同構於 H_n(B, A 交 B)。

為何不可或缺：切除正是讓你把同調計算局部化到有趣部分的鄰域。與對的長正合序列結合，它驅動球面同調的計算、胞腔同調與奇異同調一致的證明、邁耶-菲托里斯序列以及懸垂同構。沒有切除，相對同調只會是個毫無槓桿的定義；有了它，相對群就如局部資料般具體。

誠實的關卡是閉包條件。你只能切除那閉包嚴格落在 A 內部的集——你不能一路切到 A 觸及 X 其餘部分的邊界。若 Z 抵達「接縫」，切除便失效。定理也確實關乎良好的子空間對；最乾淨的陳述假設由內部覆蓋，對任意對則過渡到「良好對」或利用 CW 結構。