勒贝格微分定理

若你在一点周围取越来越小的球上对一个可积函数求平均,这些平均值会趋向该点的函数值——在几乎每个点处。这就如同微积分基本定理从累积的积分还原被积函数那样从积分还原函数,只是如今针对的是勒贝格理论所接纳的粗糙的、仅仅可积的函数,而不只是连续函数。

确切地说,对 R^n 上的局部可积函数 f,对几乎每个 x,f 在球 B(x, r) 上的平均,即 (1 除以球的测度) 乘以 f 在 B(x, r) 上的积分,当 r 趋于 0 时收敛到 f(x)。更强的勒贝格点版本断言:|f(y) - f(x)| 在球上的平均在几乎每个 x 处也趋于 0——这样的 x 称为勒贝格点。

这是微积分基本定理向勒贝格框架的深刻推广;对连续 f 它不过是连续性,但定理在完全没有连续性时也成立。几乎每个一语至关重要:它可能在一个零测集上失效,事实上对一个集合的指示函数,它恰好在测度论意义下的边界上失效。其证明依赖于哈代–利特尔伍德极大不等式。