拉普拉斯-貝爾特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）
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普通的拉普拉斯算子 u_xx + u_yy + u_zz 住在平坦空間裡，那裡座標均勻、直角無處不在。但許多問題住在彎曲的曲面上——球面上的溫度、彎曲膜的振動、地球表面的擴散——那裡並不存在平坦座標。拉普拉斯-貝爾特拉米算子是重建來能在任何彎曲空間（黎曼流形）上運作、並尊重其幾何的拉普拉斯算子。它是橢圓理論的幾何頂峰：彎曲世界上平衡與擴散的自然算子。
在帶度量 g（它告訴你如何在每一點量長度與角度）的流形上，函數 u 的拉普拉斯-貝爾特拉米算子為 Delta_g u = (1 除以 det g 的平方根) 乘 sum over i,j 對 x_i 的偏導數 (det g 的平方根 乘 g^(ij) 乘 u 對 x_j 的偏導數)，其中 g^(ij) 是逆度量、det g 是其行列式。這些雜亂恰是讓表達式獨立於你恰好選用的座標卡的記帳——換座標時，每一塊都如此變換，使算子保持為同一個幾何對象。最乾淨的說法是：Delta_g u = div(grad u)，其中梯度與散度都在度量 g 下取。在帶單位度量的平坦空間上，所有平方根與逆都變平凡，它便退回到熟悉的 u_xx + u_yy + u_zz。它一致橢圓（度量正定恰即橢圓性）、對度量的體積積分自伴，故繼承了整套橢圓工具箱。
因為它在緊流形上自伴且橢圓，拉普拉斯-貝爾特拉米算子有離散譜與一組完備的正交歸一特徵函數基底，把傅立葉級數推廣到彎曲空間：在球面上，這些特徵函數正是球諧函數。它的譜是一個深刻的幾何不變量——透過熱核跡，它編碼流形的體積、維數與總曲率，是外爾定律的彎曲空間版本、也是「聽出形狀」的現代化身。它是流形上熱方程與波動方程的核心算子，是霍奇理論（其中它作用於微分形式、其核計算拓撲）的核心算子，並貫穿整個幾何分析——彎曲空間上的量子力學、曲面上的影像處理、以及廣義相對論，全都說它的語言。
在單位球面上，以球座標 (theta, phi) 寫一個函數。拉普拉斯-貝爾特拉米算子變成 Delta_g u = (1 除以 sin theta) 對 theta 的偏導數 (sin theta 乘 u_theta) + (1 除以 sin^2 theta) u_(phi phi)。其特徵函數是球諧函數 Y_(l,m)，特徵值為 -l(l+1)（l = 0, 1, 2, ...）——這正是出現在氫原子角向部分、以及行星重力場多極展開中的同一個算子與同一批模態。
在球面上，幾何拉普拉斯算子的特徵函數就是球諧函數——彎曲世界上的傅立葉分析。
文獻中的符號約定相衝突：許多幾何學家以相反符號定義拉普拉斯-貝爾特拉米算子（作為一個正算子，具非負特徵值），故在球面上他們把特徵值寫成 +l(l+1)。幾何完全相同；只有符號約定不同，故在比較公式前務必確認作者用的是哪一個。此外，算子依賴度量——改變度量（拉伸曲面）就改變算子及其整個譜。