球諧函數展開（spherical-harmonic expansion）
/ Legendre: luh-ZHAHND-ruh /
正弦與餘弦是一條線的自然振動圖樣；在「球」面上自然的圖樣是球諧函數。它們是球的駐波——球殼會以之振響的形狀——而球面上任何函數，如地球上的溫度或宇宙微波天空的亮度，都能展成它們之和，恰如區間上任何函數展成傅立葉級數。
它們直接源於球座標 (r, theta, phi) 中的分離變數法。拉普拉斯算子拆成徑向部分與角向部分；角向因子在分離出經度 phi（給出繞赤道的普通 e^(i m phi)、正弦與餘弦）與餘緯 theta（給出連帶勒壤得函數）後，組合成球諧函數，記為 Y_l^m(theta, phi)。它們以度數 l = 0, 1, 2, ... 與階 m（從 -l 到 l）標記。徑向部分另外對拉普拉斯方程給出冪次 r^l 與 r^(-l-1)，對波動與亥姆霍茲方程給出球貝索函數。勒壤得多項式是 m = 0 的特例，即只依賴緯度的球諧函數。
球諧函數在球面上正交，所以用它們展開一個函數恰按傅立葉配方進行：每個係數是函數對一個球諧函數的積分。度數 l 量度角向尺度——l = 0 是平均，l = 1 是偶極（一個鼓包），更高的 l 是越來越細的漣漪。這是凡具球對稱者的普適語言：行星的重力與磁場、原子的電子軌域（s、p、d 形狀就是球諧函數）、天線輻射圖樣，以及宇宙微波背景的統計分析——其著名的功率譜，正是按度數分布的球諧能量。
求球內部、表面溫度給定的拉普拉斯方程之解。把表面資料展成球諧函數之和，對 l 與 m 求和 A_l^m Y_l^m(theta, phi)；則內部解為 A_l^m r^l Y_l^m(theta, phi) 之和。每個球諧函數的振幅由比對邊界資料決定，恰如傅立葉係數——而 r^l 因子使每個角向圖樣朝中心平滑地淡去。
球諧函數對球面所做的，恰是正弦與餘弦對區間所做的。
別把度數 l（球面上的角向細節）與徑向行為混淆。對拉普拉斯方程，每個球諧函數 Y_l^m 配上兩個徑向冪次 r^l 與 r^(-l-1)；在球內保留 r^l（以在中心保持有限），在球外保留 r^(-l-1)（以在無窮遠衰減）。