勒壤得多項式（Legendre polynomials）
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這些是在球面上扮演正弦與餘弦在直線上所扮演角色的多項式。每當你在球座標中分離拉普拉斯方程——重力位、電場、行星的形狀、原子軌域——角向部分就交給你勒壤得多項式。它們是住在球面上的函數的天然字母表。
勒壤得多項式 P_0, P_1, P_2, ... 是奇異史特姆-劉維問題 -((1 - x^2) P')' = lambda P 在 [-1, 1] 上的特徵函數，其中 x = cos(theta) 是極角的餘弦。端點 x = ±1 是奇異的，因為係數 1 - x^2 在那裡為零；要求有界解迫使 lambda = n(n+1)，而有界解便是 n 次多項式：P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = (3 x^2 - 1)/2，依此類推。它們在 [-1, 1] 上以樸素權重 w = 1 正交：當 m 不等於 n 時，P_m P_n 從 -1 到 1 的積分為零。把它們乘上方位因子 e^(i*m*phi) 就構成球諧函數。
它們的觸及極為廣闊。任何球面上函數的球諧函數展開——大地測量學用以建模地球重力場、宇宙學用以分析宇宙微波背景、化學用於原子軌域（s、p、d 形狀）——都是勒壤得／球諧級數，是廣義傅立葉級數的球面版本。著名的位勢多極展開正是 cos(theta) 的勒壤得多項式展開。
接地球內偏離中心的點電荷，可藉由把 1/|r - r'| 展開為勒壤得多項式求解：1/|r - r'| = (r_小^n / r_大^(n+1)) P_n(cos theta) 之和（n 求和），其中 theta 是 r 與 r' 之間的夾角。每個 P_n 捕捉位勢的一個「多極」——單極、偶極、四極。
位勢的多極展開就是 cos(theta) 的勒壤得級數。
留意正規化慣例：P_n(1) = 1 是標準選擇，但正規化版本帶有因子 sqrt((2n+1)/2)，而物理學家的球諧函數又用另一套常數。在合併不同來源的結果前，務必查清某公式假設的是哪種慣例。