厄米特與拉蓋爾函數（Hermite and Laguerre functions）
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這些是住在無限區域——半直線與整條實線——上的特徵函數族，在那裡正弦與餘弦不再合適，因為沒有可以環繞的有限區間。它們是物理中兩個最重要問題的天然模態：量子諧振子與氫原子。
厄米特函數是量子振子背後、整條實線上奇異史特姆-劉維問題的特徵函數：-u'' + x^2 u = lambda u，特徵值 lambda = 2n + 1，n = 0, 1, 2, ...。有界解為 H_n(x) e^(-x^2/2)，其中 H_n 是厄米特多項式，在 (-無限, 無限) 上以權重 w(x) = e^(-x^2)（一個高斯函數）正交。拉蓋爾函數則出現在半直線 [0, 無限) 上——例如來自氫原子的徑向部分——其特徵函數由拉蓋爾多項式 L_n 構成，以權重 w(x) = e^(-x)（或關聯版本的 x^k e^(-x)）正交。兩種情形中，衰減的權重正是馴服無限區域、使積分收斂的東西。
它們的特別之處在於：史特姆-劉維的機制在無限區間上依然有效——實特徵值、加權正交性、完備性、特徵函數展開。它們正是量子振子能階等間距（lambda = 2n + 1）以及氫原子擁有離散譜的原因。在物理之外，厄米特函數是傅立葉轉換本身的特徵函數，而高斯-厄米特與高斯-拉蓋爾求積法利用它們的零點，對那些權重進行高精度的數值積分。
量子諧振子 -psi'' + x^2 psi = E psi 只在 E = 2n + 1 處有有界解：psi_n(x) = H_n(x) e^(-x^2/2)，其中 H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4x^2 - 2。基態 psi_0 = e^(-x^2/2) 是無節點的高斯函數（n = 0，零個內部零點——又是振盪定理），而每個更高的態增加一個節點。
厄米特函數是量子諧振子的能量本徵態。
留意厄米特多項式的兩種慣例——「物理學家的」H_n（權重 e^(-x^2)）與「機率學家的」He_n（權重 e^(-x^2/2)）相差一個縮放；混用會給出錯誤的正規化。且在這些無限區域上，特徵函數仍會衰減（透過高斯或指數因子），但挑選它們的是有界性本身，而非某個邊界值。