貝索函數展開（Bessel-function expansion）
/ Bessel: BESS-uhl /
分離變數法並不限於直線與矩形。把它用在圓形鼓面——一個圓盤——上，圓的幾何便拒絕給你徑向部分整齊的正弦與餘弦。取而代之，徑向因子滿足一個方程，其自然解是貝索函數：振盪的曲線，看起來有點像衰減的正弦，但間距與振幅都在漂移，是為圓與圓柱對稱量身打造的特殊函數。用這些函數作的展開，正是圓幾何版的傅立葉級數。
它如此產生。在極座標 (r, theta) 中分離拉普拉斯方程或波動方程，會拆成角向部分——因角度週期性繞回，給出 theta 的普通正弦與餘弦——與徑向部分，後者成為貝索方程。它的有界解是貝索函數 J_m(k r)。圓盤邊緣的邊界條件（譬如 r = a 處 u = 0）迫使 k a 為 J_m 的零點，把允許的徑向波數量子化，恰如弦的兩端把 n pi / L 量子化。接著你把資料的徑向輪廓展成傅立葉-貝索級數，即 J_m(k_j r) 之和，係數由正交性求得——但現在正交性是對「權」函數 r dr 成立，那是圓盤的面積元。
這是同一套分離變數機制，只是換上適合該幾何的正確特殊函數。它是你求圓鼓振動模態（其泛音不像弦那樣是簡單整數倍——這正是鼓聽起來比弦不那麼「悅耳」的原因）、圓柱中熱流、以及物理與工程中各種圓柱對稱場的方法。球面則導向勒壤得與球諧函數展開；理念完全相同，只是特殊函數改變。
半徑為 a、邊緣固定的圓鼓。一個徑向對稱的模態是 J_0(k r) cos(c k t)，其中 k a 須等於 J_0 的某個零點（前幾個零點約為 2.405、5.520、8.654）。允許的頻率是 c k，由於 J_0 的零點不等距，泛音不是基頻的整數倍——這面鼓是非諧的。
在圓盤上徑向模態是貝索函數，頻率由它們（不等距的）零點決定。
貝索函數的正交性帶有權 r dr——圓盤的面積元——而非正弦那種純粹的 dx。漏掉權，係數積分就會算錯。這些展開（傅立葉、貝索、勒壤得）之所以成立的更深理由是史特姆-劉維理論，另行處理。